I. Fonction Exponentielle de base e

Nous allons voir dans ce cours, la fonction exponentielle : 

  • Propriétés importantes à savoir surtout quand on simplifie des expressions contenant l’exponentielle;
  • Dérivabilité;
  • Tableau de variations, Limites en l’infini et la courbe représentative.

1) Définition :

La fonction exponentielle de base e, est notée exp, telle que pour tout réel x, on a exp : ex

Le réel e est égal à environ 2,718  ( e = e1 = 2.718281828 et cette valeur approchée peut être retrouvée à l’aide d’ une calculatrice scientifique ainsi que la courbe représentative ).

 

2) Propriétés :

a)  e0 = 1  et e1= e

Dans les propriétés qui suivent, nous allons voir les mêmes propriétés déjà vu en puissances ( Voir Produit de puissances  et  Quotient de puissances ).

Pour tout x et y, on a :

b) ex > 0

c) ex + y = ex ey

d) ex = 1/ex  et  ex = 1/ex

e) ex-y = ex/ey

f) (  ex )y = exy

Exercice : Simplifier des écritures contenant l’ exponentielle :

A = e4 × e−6 / e−7

B = ( e-6 )5 × e−4

C = 1/( e-3 )2 + ( e4 )−1 / e ×  e-6

Correction :

A = e4 × e−6 / e−7

    = e-2 / e−7                     ( Voir  Quotient de puissances ).

    = e5

B = ( e-6 )5 × e−4

   =  e-30 × e−4            ( Voir Produit de puissances ).

   =  e-34

     ( Voir  Quotient de puissances ).

3) Dérivée de la fonction exponentielle

Propriété :

La fonction exponentielle est continue et dérivable sur et (exp x)’ = ( e x )’ = e x

Exercice d’ Application :

Dériver une fonction contenant la fonction exponentielle

a) f (x) = 4x − 3ex                          ( Voir  Dérivée de la Somme de fonctions ).

f ‘(x) = ( 4x − 3e)’

         = ( 4x ) − ( 3e)’ 

         = 4 – 3ex

b) g(x) = ( x − 1)ex

g ‘(x) = ( x − 1 )ex                        ( Voir  Dérivée du Produit de fonctions ).

         = ( x − 1 )’ ex + ( x − 1 ) ( e)’

         = 1 x e+ ( x − 1 ) e

         = e+ ( x − 1 ) e

         = ( 1 + x − 1 ) e 

        = x ex

c) h(x) = ex / x                             ( Voir  Dérivée du Quotient de fonctions ).

h'(x) = ( ex / x )

         = ( ( ex )’  x   ex  x’  ) /  x²

         = ( ex  e1) /  x²

         = ( e  e) /  x²

         = (  1 ) ex /  x²

4) Variations

Propriété :

La fonction exponentielle est strictement croissante sur .

Démonstration :

Comme (exp )’ = exp x > 0 , la fonction exponentielle est strictement croissante.

Limites en l’infini :

On dresse le tableau de variations de la fonction exponentielle :

5) Courbe représentative : Fonction exponentielle

Exercice : Etudier une fonction exponentielle

Soit   la fonction définie sur par f (x) = ( x + 2 ) ex .

a) Calculer la dérivée de la fonction f.

b) Dresser le tableau de variations de la fonction f.

c) Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 0.   ( Voir Comment déterminer équation de la tangente )

d) Tracer la tangente à la courbe f 

e) Tracer la courbe représentative de la fonction f 

Correction :

a)  f ‘(x) = ( ( x + 2 ) e )’                                  

             = ( x + 2 )’ ex + ( x + 2 )( ex )               ( Voir Dérivée du Produit de fonctions  et  Calcul de la dérivée d’ un Polynome )

             = ex + ( x + 2 )ex   

             = ( x + 3)ex

b) Comme e x  > 0 , le signe de f ‘(x) dépend de x + 3.

x + 3 est Négatif pour toutes les valeurs de l’intervalle ] −∞;−3 [ et Positif sur l’intervalles ] −3;+∞ [ et s’annule à x = –3.

f est donc décroissante sur l’intervalle ] −∞;−3 ] et croissante sur l’intervalle [ −3;+∞ [

Tableau de variations :

c)

f (x) = ( x + 2)ex   et    f ‘(x) = ( x + 3)ex

 f (0) = ( 0 + 2 )e0  = 2   et    f ‘(0) = ( 0 + 3)e0 = 3

L’ équation de la tangente à la courbe de en 0 est donc :        ( Voir Comment déterminer équation de la tangente )

y = ‘(0) (x − 0) + f (0), soit :  y = 3+ 2

d) et e)

Soit g la fonction tangente : g(x) = 3+ 2 

Concernant la représentation graphique de la tangente et la fonction f , voir la figure suivante :

( Voir Comment Représenter graphiquement une fonction affine )

6) Résolution d’équations et d’inéquations

Propriétés :

Pour tout réel a et b, on a :
ea = eb a = b
ea < eba < b

Exercice d’ application : Résoudre une équation ou une inéquation

a) Résoudre dans ℝ l’inéquation e5x−1 ≥ 1.

b) Résoudre dans ℝ l’inéquation e7x+2 > 1.

c) Résoudre dans ℝ l’équation exp(x2 − 5 ) − exp(−4x ) = 0 .

Correction :

a)

         e5x-1 ≥ 1

⇔     e5x-1 ≥ e0

⇔   5x − 1 ≥ 0

⇔        5x  ≥ 1

⇔           x ≥ 1/5

L’ensemble des solutions est l’intervalle [ 1/5 ;+∞ [

b)

         e-7x+2 > 1

⇔     e-7x+2 > e0

⇔   -7x + 2  > 0

⇔        -7x   > -2

⇔            x  < -2/-7

⇔            x  < 2/7

L’ensemble des solutions est l’intervalle [ – ∞ ; 2/7 [

c)     exp(x2 − 5 ) − exp( − 4x ) = 0
⇔                      exp( x2 − 5 ) = exp( − 4x )            
⇔                              x2 − 5   = − 4x
⇔                        x2 − 5 + 4x = 0                  ( Voir Comment résoudre une équation du second degré )
⇔                             x1 = 1 ou x2 = -5    (  ∆ = 16 – 4 * (-5) = 16 + 20 = 36   Donc  x1 = 1 et  x2 = -5  ) 
Les solutions sont 1 et -5.                     

II. Fonctions de la forme ef(x)

Propriétés :

Propriété 1:

Soit f(x) une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction x  ef(x) est dérivable sur I.

La dérivée de la fonction x  ef(xest la fonction   f ‘(x)ef(x)

Exemples :

Soit f (x) = e6x+2 alors f ‘(x) = ( e6x+2 ) ‘ = ( 6x+2 )’ e6x+2 = 6e6x+2 

Soit g (x) = e-7 alors g ‘(x) = ( e-7x ) ‘ = ( -7x )’ e-7x = -7e-7x 

Propriété 2:

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Les fonctions x f(x) et x  ef ( x) ont le même sens de variation.

Démonstration :

On a ( ef(x) )’ = f ‘(xef(x) Comme ef(x)  > 0 , f ‘(x) et ( ef(x) )’ sont de même signe.

Exemples :

La fonction x² est croissante sur ] −∞;0 ] et sur  [ 0 ; +∞ [
Donc la fonction exp(x²) est également croissante sur ] −∞;0 ] et sur  [ 0 ; +∞ [

La fonction 1/x est décroissante sur ] −∞;0 [ et sur  ] 0 ; +∞ [
Donc la fonction exp(1/x) est également décroissante sur ] −∞;0 [ et sur  ] 0 ; +∞ [

FONCTION EXPONENTIELLE – Cours Maths Terminale
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