Résoudre une équation consiste à trouver les solutions qui vérifie l’équation. Nous allons voir dans cet article, comment résoudre une équation du second degré dans l’ensemble R en fonction de la valeur du discriminant   (  ∆ > 0  ,  = 0  ou    <  0 ).

1- Exemples d’équations du second degré :

Une équation du second degré a la forme suivante :  

x² + x + c = 0     avec     a ≠ 0

Exemples :

 3x² – 5x + 2 = 0    où          a3   ;   b = -5   et  c2

4x² + 7 = 0            où          a = 4   ;   b =  0   et    c = 7 

 7x² – 2x  = 0         où            a7    ;   b = -2   et  c = 0

2- Résoudre une équation du second degré :

Le nombre de solutions d’une équation du 2nd degré dépend de la valeur d’un nombre appelé discriminant :  

 = b² – 4 ac     

On distingue 3 cas en fonction de la valeur du discriminant  (  ∆ > 0  ,  = 0  et  ∆  <  0:

2.1/  Discriminant > 0 :

L’équation a 2 solutions distinctes :

comment résoudre une équation du second degré deux solutions avec discriminant strictement positif

On écrit S = { x1  ;  x}

Exemple 1:  

Résoudre une équation du second degré  :  3x² x + 2 = 0  

Solution :  

a =3    ;   b = -5   et  c =2

On calcule    :

  =  b² – 4 ac  

    = (-5)² – 4x3x2 

    = 25 – 24 

    = 1 

 = 1  >  0  donc l’équation a 2 solutions distinctes : 

premier exemple sur comment résoudre une équation du second degré premiere solution avec discriminant strictement positif

premier exemple sur comment résoudre une équation du second degré deuxieme solution avec discriminant strictement positif

Donc : S = { 1  ;  2/3 }

Exemple 2 : 

Résoudre une équation du second degré :   7x² – 2x  = 0      

Solution :  

a7    ;   b = -2   et  c = 0

On calcule    :

  =  b² – 4 ac  

    = (-2)² – 4x7x0 

    = 4 – 0 

    = 4 

 = 4  >  0  donc l’équation a 2 solutions distinctes :

deuxieme exemple sur comment résoudre une équation du second degré deux solution avec discriminant strictement positif

Donc : S = { 0  ;  2/7 }

2.2/  Discriminant = 0 :

L’équation a une solution double :

comment résoudre une équation du second degré solution double avec discriminant nul

Exemple :  

Résoudre l’équation du second degré suivante :  x² – 4x + 4 = 0    

Solution :  

a =1    ;   b = -4   et  c4

On calcule    :

  =  b² – 4 ac  

    = (-4)² – 4x1x4 

    = 16 – 16 

    = 0 

 = 0  donc l’équation a une solution double : 

premier exemple sur comment résoudre une équation du second degré solution double avec discriminant nul

Donc :  S = { 2 }

2.3/  Discriminant < 0 :

L’ équation n’a pas de solution dans R.

Exemple :

Résoudre l’équation du second degré suivante :   6x² + 3x + 1 = 0    

Solution :  

a =6    ;   b = 3   et  c = 1

  =  b² – 4 ac  

    = 3² – 4x6x1 

    = 9 – 24 

    = -15 

 = -15  <  0  donc l’équation n’a pas de solutions dans R.


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