Résoudre une équation consiste à trouver les solutions qui vérifie l’équation. Nous allons voir dans cet article, comment résoudre une équation du second degré dans l’ensemble R en fonction de la valeur du discriminant   (  ∆ > 0  ,  = 0  ou    <  0 ).

1- Exemples d’équations du second degré :

Une équation du second degré a la forme suivante :  

x² + x + c = 0     avec     a ≠ 0

Exemples :

 3x² – 5x + 2 = 0    où          a3   ;   b = -5   et  c2

4x² + 7 = 0            où          a = 4   ;   b =  0   et    c = 7 

 7x² – 2x  = 0         où            a7    ;   b = -2   et  c = 0

2- Résoudre une équation du second degré :

Le nombre de solutions d’une équation du 2nd degré dépend de la valeur d’un nombre appelé discriminant :  

 = b² – 4 ac     

On distingue 3 cas en fonction de la valeur du discriminant  (  ∆ > 0  ,  = 0  et  ∆  <  0:

2.1/  Discriminant > 0 :

L’équation a 2 solutions distinctes :

solutions équation discriminant strictement positif

On écrit S = { x1  ;  x}

Exemple 1:  

Résoudre une équation du second degré  :  3x² x + 2 = 0  

Solution :  

a =3    ;   b = -5   et  c =2

On calcule    :

  =  b² – 4 ac  

    = (-5)² – 4x3x2 

    = 25 – 24 

    = 1 

 = 1  >  0  donc l’équation a 2 solutions distinctes : 

premier solution  équation 2nd degré discriminant strictement positif

deuxième solution  équation 2nd degré discriminant strictement positif

Donc : S = { 1  ;  2/3 }

Exemple 2 : 

Résoudre une équation du second degré :   7x² – 2x  = 0      

Solution :  

a7    ;   b = -2   et  c = 0

On calcule    :

  =  b² – 4 ac  

    = (-2)² – 4x7x0 

    = 4 – 0 

    = 4 

 = 4  >  0  donc l’équation a 2 solutions distinctes :

Solutions équation discriminant strictement positif

Donc : S = { 0  ;  2/7 }

2.2/  Discriminant = 0 :

L’équation a une solution double :

comment résoudre une équation du second degré solution double avec discriminant nul

Exemple :  

Résoudre l’équation du second degré suivante :  x² – 4x + 4 = 0    

Solution :  

a =1    ;   b = -4   et  c4

On calcule    :

  =  b² – 4 ac  

    = (-4)² – 4x1x4 

    = 16 – 16 

    = 0 

 = 0  donc l’équation a une solution double : 

premier exemple sur comment résoudre une équation du second degré solution double avec discriminant nul

Donc :  S = { 2 }

2.3/  Discriminant < 0 :

L’ équation n’a pas de solution dans R.

Exemple :

Résoudre l’équation du second degré suivante :   6x² + 3x + 1 = 0    

Solution :  

a =6    ;   b = 3   et  c = 1

  =  b² – 4 ac  

    = 3² – 4x6x1 

    = 9 – 24 

    = -15 

 = -15  <  0  donc l’équation n’a pas de solutions dans R.


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