Nous allons voir dans ce cours, comment définir l’ ensemble de définition d’ une fonction rationnelle à l’aide de plusieurs exemples.

1/ Définition d’une Fonction Rationnelle :

Une fonction rationnelle est le quotient de deux fonctions polynômes.

Exemples de Fonctions Rationnelles :

ensemble de définition d' une fonction rationnelle des exemples de fonctions rationnelles

2/ Ensemble de définition d’ une fonction rationnelle :

Le domaine de définition d’ une fonction rationnelle est Toujours R en excluant les valeurs ou s’annule le polynôme du dénominateur.

Exemple 1 :

La Fonction Inverse : f ( x ) = 1 / x

L’ensemble de définition dans ce cas est R en excluant la valeur « 0 » ou le dénominateur  x  s’annule.

Donc :     Df = R – { 0 } = ] -∞ ; 0 [ U ] 0 ; + ∞[ = R

Remarque les 3 écritures    R – { 0 } ”   et  ”  ] -∞ ; 0 [ U ] 0 ; + ∞[ ”  et  ” R” signifie la même chose.

Exemple 2 :

ensemble de définition d' une fonction rationnelle deuxieme exemple

L’ensemble de définition est R en excluant les valeurs ou le dénominateur ( x – 1 ) s’annule :

Donc : 

Dg = { x ϵ R / x – 1 ≠ 0 } = { x ϵ R / x ≠ 1 } = R – { 1= ] -∞ ; 1 [ U ] 1 ; + ∞[

Exemple 3 :

ensemble de définition d' une fonction rationnelle troisieme exemple

x² + 7  et x² – 4x sont des polynômes.

L’ensemble de définition est R en excluant les valeurs ou le dénominateur ( x² – 4x ) s’annule.

Donc : Dh = { ϵ R / x² – 4x ≠ 0 }
 = { x ϵ R / x ( x – 4 ) ≠ 0 }

On résous l’équation produit suivante :  x ( x – 4 ) = 0

   x ( x – 4 ) = 0
 x = 0     ou x – 4 = 0
 x = 0     ou x = 4

Donc :     Dh = { x ϵ R / x ≠ 0 ou x ≠ 4 }
 = R – { 0 ; 4 }
 = ] -∞ ; 0 [ U ] 0 ; 4[ U ] 4 ; + ∞[

Exemple 4 :

f ( x ) = ( 3x – 2 ) / ( 2x² – 5x +2 )

Df = { x ∈ R / 2x² – 5x + 2 ​​​​≠ 0 } 

Résolution de l’ équation du second degré :  2x² – 5x + 2 = 0  ( pour trouver les valeurs ou 2x² – 5x + 2 s’ annule et les enlever de l’ ensemble de définition ).

Calcul du discriminant ∆ : 

Dans l’ équation 2x² -5x +2 = 0 nous avons : a = 2 ; b = -5 et c = 2

∆ = b² – 4ac = (-5)² – 4*2*2 = 25 – 16 = 9 > 0

Donc, l’ équation a deux solutions : 

x1 = – b – racine ( ∆ ) /2a = 5 – 3 / 2*2 = 2/-4 = 1/2

x2 = – b + racine ( ∆ ) /-2a = 5 + 3 / 2*2 = 8/-4 = 2

Donc :

Df = { x ∈ R / x ​​​​≠ 1/2 ou x ​​​​≠ 2 }

 = R – { 1/2 ; 2 }

 = ] -∞ ; 1/2 [ U ] 1/2 ; 2 [ U ] 2 ; + ∞[ 


Si ce n’est pas encore clair sur la signification de l’ ensemble de définition d’ une fonction rationnelle , n’hésite surtout pas de nous laisser un commentaire en bas et nous te répondrons le plutôt possible.

Sinon, après avoir lu ce cours, écris le mot qui te passe à la tête

Ensemble de définition d’une Fonction Rationnelle ( Quotient de Polynômes )