Nous allons voir dans ce cours, comment définir l’ ensemble de définition d’une fonction rationnelle à l’aide de plusieurs exemples.

Définition d’une Fonction Rationnelle :

Une fonction rationnelle est le quotient de deux fonctions polynômes.

Exemples de Fonctions Rationnelles :

ensemble de définition d' une fonction rationnelle des exemples de fonctions rationnelles

La fonction :  f ( x ) :   f ( x ) = ( 3x – 2 ) / ( 2x² – 5x +2 )

La fonction :  g ( x ) :   g( x ) = ( – 7x – 18 ) / ( 5x² + 3x + 14 )

La fonction :  h ( x ) :   h ( x ) = 2x / ( 25x² – 4 )

Ensemble de définition d’une fonction rationnelle :

Le domaine de définition d’une fonction rationnelle est Toujours R en excluant les valeurs ou s’annule le polynôme du dénominateur.

Exemple 1 :   f ( x ) = 1 / ( Fonction Inverse )

L’ensemble de définition dans ce cas est R en excluant la valeur « 0 » ou le dénominateur  x  s’annule.

Donc :     Df  = R – { 0 } = ] -∞ ; 0 [ U ] 0 ; + ∞[ = R

Remarque les 3 écritures  «   R – { 0 }  »   et   »  ] -∞ ; 0 [ U ] 0 ; + ∞[  »  et   »  R » signifient la même chose.

Exemple 2 :  g ( x ) = ( + 4 ) / ( x – 1 )

 

L’ensemble de définition est R en excluant les valeurs ou le dénominateur ( x – 1 ) s’annule :

Donc :    

Dg  = { x ϵ R / x – 1 ≠ 0 } = { x ϵ R / x  ≠ 1 } = R – { 1= ] -∞ ; 1 [ U ] 1 ; + ∞[

Exemple 3 :  h ( x ) = ( + 7 ) / ( x² – 4x )

 

x² + 7  et  x² – 4x  sont des polynômes.

L’ensemble de définition est R en excluant les valeurs ou le dénominateur ( x² – 4x ) s’annule.

Donc : Dh = { ϵ R / x² – 4x ≠ 0 } = { x ϵ R / x ( x – 4 ) ≠ 0 }

On résout l’équation produit suivante :    x ( x – 4 ) = 0

                     x ( x – 4 ) = 0
         x = 0     ou     x – 4 = 0
         x = 0     ou           x = 4

Donc :     Dh = { x ϵ R /   x ≠ 0   ou   x ≠ 4  }
                      = R – { 0 ; 4 }
                      = ] -∞ ; 0 [ U ] 0 ; 4[ U ] 4 ; + ∞[

Exemple 4 :  f ( x ) = ( 3x – 2 ) / ( 2x² – 5x +2 )

Df = { x ∈ R / 2x² – 5x + 2 ​​​​≠ 0 } 

Résolution de l’ équation du second degré : 2x² – 5x + 2 = 0  ( pour voir si des valeurs dans R ou 2x² – 5x + 2 s’ annule ).

Calcul du discriminant ∆ :  

a = 2 ; b = -5 et c = 2

∆ = b² – 4ac = (-5)² – 4*2*2 = 25 – 16 = 9 > 0

Donc, l’ équation a deux solutions : 

x1 = – b – racine ( ∆ ) /2a = 5 – 3 / 2*2 = 2/-4 = 1/2

x2 = – b + racine ( ∆ ) /-2a = 5 + 3 / 2*2 = 8/-4 = 2

Donc :

Df = { x ∈ R / x ​​​​≠ 1/2 ou x ​​​​≠ 2 }

     = R – { 1/2 ; 2 }

     = ] -∞ ; 1/2 [ U ] 1/2 ; 2 [ U ] 2 ; + ∞[ 

Exemple 5 : h ( x ) = 2x / ( 25x² – 4 )

Dh = { x ∈ R / 25x² – 4 ​​​​≠ 0  }

     = { x ∈ R / (5x)² – 2² ​​​​≠ 0  }

     = { x ∈ R / ( 5x – 2 )( 5x + 2 ) ​​​​≠ 0  }

On résout l’équation produit suivante :   ( 5x – 2 )( 5x + 2 ) = 0

                  ( 5x – 2 )( 5x + 2 ) = 0
          5x – 2 = 0     ou     5x + 2= 0

               5x = 2      ou          5x = -2

                 x = 2/5   ou            x = -2/5

Donc :     Dh = { x ϵ R /   x ≠ 2/5   ou   x ≠ -2/5  } = R – { -2/5 ; 2/5 }

On peut aussi écrire : Df = ] -∞ ; -2/5 [ U ] -2/5 ; 2/5 [ U ] 2/5 ; + ∞[

Exemple 6 : g ( x ) = ( – 7x – 18 ) / ( 5x² + 3x + 14 )

Dg = { x ∈ R / 5x² + 3x + 14  ​​​​≠ 0 } 

Résolution de l’ équation du second degré :  5x² + 3x + 14 = 0  ( pour voir si y’a des valeurs dans R ou 2x² – 5x + 2 s’ annule ).

Calcul du discriminant ∆ :  

a = 5 ; b = 3 et c = 14

∆ = b² – 4ac = 3² – 4*5*14 = 9 – 280 = – 271 < 0

Puisque ∆ < 0,  l’ équation n’ a pas de solutions dans R.

Donc, cela veut dire que le polynôme 5x² + 3x + 14 ne s’ annule jamais dans R.

Donc : Dg  = R = ] -∞ ; + ∞ [ 


Si ce n’est pas encore clair sur la signification de l’ ensemble de définition d’une fonction rationnelle , n’hésite surtout pas de nous laisser un commentaire en bas et nous te répondrons le plutôt possible.

Sinon, après avoir lu ce cours, écris le mot qui te passe à la tête


Autres liens utiles :

Ensemble de définition d’une Fonction Rationnelle ( Quotient de Polynômes )
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