Nous allons voir dans ce cours la méthode à suivre pour déterminer l’ équation de la tangente à une courbe à un point donné.

1/ Théorème : équation de la tangente à une courbe

Soit Cf  la courbe représentative d’une fonction f dérivable dans un intervalle I.

Prenons le point a ∈ I. La tangente à la courbe C au point A( a ; f(a) ) est la droite qui passe par A et dont le coefficient directeur est  f ′(a).

L’ équation de la tangente à Cf  au point A d’ abscisse a est sous la forme suivante : 

= f ′(a) (– a) + f(a)

2/ Exercices sur l’ équation de la tangente à une courbe

Exercice 1 : Déterminer l’ équation de la tangente à une courbe

On considère une fonction ƒ dont on ne précise pas la formule algébrique et qui est dérivable au point d’ abscisse 2 et on a f ( 2 ) = -3 et  f ‘ ( 2 ) = -7

Solution :

L’ équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’ abscisse 2 est :

 f ′( a ) ( – a ) + f )

                                                                                         ⟺        -7 –  2 ) + )

                                                                                         ⟺        -7 x + 14  – 3

                                                                                         ⟺        -7 x + 11

Exercice 2 : Déterminer l’ équation de la tangente à une courbe

On considère la fonction  f définie sur R par  ( x ) = x3 – 3x + 1

La courbe Cf  représentative de f est la suivante :

Question 1 :  Déterminer les équations des tangentes aux points A et B d’abscisses respectives -2 et 0 de la courbe représentative de f .

Questions 2 : Construire les tangentes aux points A et B.

Solution exercice 2 : 

Question 1 :

f( x ) est un polynôme. Donc, il est dérivable sur R et cela veut dire que f peut avoir une tangente au point d’ abscisse -2 et 0.

f ‘( x ) =x3 3x + 1 )’ = 3x2 – 3

Au point d’ abscisse -2 :

L’ ordonnée du point d’abscisse -2 est :   f (2) = ( -2 )3 – 3 x ( -2 )  + 1  = -8 + 6 + 1 = -1

La dérivée de f au point -2 :  f ‘(2)3 ( -2 )2 – 3 =  3 x 4 – 3 = 12 – 3 = 9

L’ équation de la tangente est :

 f ′( -2 ) ( – ( -2 ) ) + f -2 )

                                                                                        ⟺   y = 9 ( x  + 2 ) – 1 

                                                                                        ⟺   y = 9 x  + 18 – 1

                                                                                        ⟺   y = 9 x  + 17

Donc, l’ équation de la tangente est : y = 9 x  + 17

Au point d’ abscisse 0 :

L’ ordonnée du point d’abscisse 0 est :   f 0) = 0 – 3 x 0  + 1  = 1

La dérivée de f au point 0 : f ‘) = 3  0 –  3 = – 3 

l’ équation de la tangente est :  f ′( 0 ) ( – 0 ) + ( 0 = -3 x  +  1 

Donc, l’ équation de la tangente à la forme suivante : y = -3 x  +  1 

Questions 2 : Construire les tangentes aux points A et B :

( Voir Comment Représenter Graphiquement une fonction affine )

 

Déterminer l’ équation de la tangente à une courbe à un abscisse donné
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