1. Contraposée du Théorème de Pythagore :

Ce cours de mathématiques sur le Théorème de Pythagore, est consacré à l’application de la Contraposée du Théorème de PythagoreA l’aide de plusieurs exercices corrigés en vidéo, nous allons voir comment appliquer la Contraposée de Pythagore

1.1 Signification de la Contraposée d’un Théorème ?

Nous imaginons que nous disposons du théorème suivant :  Si on a “A” alors on obtient ” B “. 

La Contraposée de Pythagore sera : ” Si on n’ a pas ” B ” alors on n’ obtient pas “A”.

Contrairement à la Réciproque Si on a ” B ” alors on obtient “A”.

1.2 Contraposée du Théorème de Pythagore :

Contraposée du Théorème de Pythagore permet de démontrer que le triangle n’ est pas rectangle. Par contre, la Réciproque du Théorème de Pythagore est utilisée pour démontrer que le triangle est rectangle ( dans ce cas, l’égalité de Pythagore est vérifiée : le carrée de l’ hypoténuse est égal à la somme des carrées des deux autres côtés ).

Remarque : Contraposée de Pythagore ou sa Réciproque sont appliquées en connaissant les mesures des trois cotés du triangle.

1.3 Contraposée du Théorème de Pythagore ( Vidéo ) :

Exercice : ( expliqué dans la Vidéo )

DEF est un triangle et les longueurs des côtés sont :  EF = 4 cm  ,  FD =  7 cm  et  DE = 6 cmréciproque et contraposée du théorème de Pythagore

Questions : 

1/ si DEF est un triangle rectangle, quel côté peut être l’hypoténuse ?

2/ Est ce que le triangle DEF est rectangle ?

Réponses :

1/

On sait que l’hypoténuse est le côté le plus long dans un triangle rectangle.

Donc, si le triangle DEF est rectangle, l’hypoténuse sera le côté FD = cm  

2/

Si le triangle DEF est rectangle, on aura l’égalité du Théorème de Pythagore :   FD² = EF² + ED²

On vérifie par le calcul :  FD²  = 7²  = 49

                                EF² + ED² = 4² + 6² = 16 + 36 = 52

On remarque que :  FD² ≠  EF² + ED²

Donc, d’après la Contraposée  de Pythagore, ABC n’ est pas un triangle rectangle.

2. Exos sur la Contraposée du Théorème de Pythagore :

2.1 Exercice : 

Soit ABC un triangle et les longueurs de ses côtés  sont :  BC = 8 cm  ,  AB = 11 cm  et AC = 6 cm

Question :

Est ce que le triangle ABC est rectangle ?

Réponse :

Si le triangle ABC est rectangle, il sera rectangle en C ( car le côté qui peut être l’hypoténuse est AB ) et on aura l’égalité du Théorème de Pythagore :  AB² = CA² + CB²

On vérifie par le calcul :   AB²  = 11²  = 121

                                CA² + CB² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100

Donc, on remarque que :  AB² ≠ CA² + CB²

D’après la Contraposée  du théorème de Pythagore, ABC n’ est pas un triangle rectangle.

2.2 Exercice : 

On a deux triangles ABD rectangle en A et le triangle BCD et on a les longueurs suivantes  :  

AB = 3 cm ,  AD =  4 cm  , BC = 3 cm  et  DC = 4,5cm

Questions : contraposée du théorème de pythagore

1/ Calculer la longueur du côté DB ?

2/ Est ce que le triangle BCD est rectangle ?

Réponses :

1/

On a le triangle ABD rectangle en A. 

D’après le Théorème de Pythagore :  

DB² = AB² + AD² = 3² + 4²  = 9 + 16 = 25

Donc,  DB = 5 cm    

2/

On a DB = 5cm, donc, Parmi les trois côtés du triangle BCD, le côté DB est le plus grand.

Si le triangle BCD est rectangle, l’hypoténuse est le côté DB et on aura l’égalité du Théorème de Pythagore :  DB² = CB² + CD²

On vérifie par le calcul :  DB²  = 5²  = 25

                               CB² + CD² = 3² + (4,5)² = 9 + 20,25 = 29,25

On remarque que :  DB² CB² + CD²

Donc, d’après la Contraposée  du théorème de Pythagore, BCD n’ est pas un triangle rectangle.

2.3 Exercice : 

Soit EDF un triangle avec : DF = 5,4 cm ; DE = 6,4 cm et  EF = 3,5 cm.

Questions :

1/ Si DEF est rectangle, il peut l’être en quelle sommet ? Justifie ton choix …

2/ Est ce que le triangle DEF est rectangle en ce sommet ?

Réponses :

1/

le sommet ou le triangle peut être rectangle est celui opposé à l’hypoténuse.

celui qui peut être l’hypoténuse ( le plus grand côté ) est le côté DE et le sommet opposé est F.

Donc, le triangle peut être rectangle en F

2/

On a d’une part DE² = (6.4)² = 40,96 et d’autre part  DF² + EF² = (5.4)² + (3.5)² = 29,16 + 12,25 = 41,41.

Ainsi, on constate que DE² ≠ DF² + EF²

donc d’après la Contraposée de Pythagore, le triangle DEF n’est pas rectangle en F

2.4 Exercice : 

Nous avons une échelle de 3,5 m qui est placé contre un mur d’une hauteur de 3m :

  • le haut de l’échelle est à la hauteur du mur.
  • les pieds de l’échelle sont éloignés du mur de 1,7 m

Question :

Démontrer que le mur est-il perpendiculaire au sol ?

Réponse : 

Cette fois ci, c’est toi qui va le résoudre en bas en commentaire et nous te répondrons si c’est juste ou non ;).

Voici le dessin explicatif de l’exercice et qui va t’aider à bien le comprendre :

contraposée du théorème de Pythagore


Autres liens utiles :


Si ce n’est pas encore clair sur la Contraposée du théorème de Pythagore, n’hésite surtout pas de nous laisser un commentaire en bas et nous te répondrons le plutôt possible :).

Sinon, après avoir lu ce cours, écris le mot qui te passe à la tête

Contraposée du Théorème de Pythagore | Triangle n’est pas rectangle
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