Réciproque du Théorème de Pythagore :

Nous allons voir dans ce cours ce que c’est la Réciproque du Théorème de Pythagore à l’aide de plusieurs exercices détaillés et à la fin du cours, tu peux répondre aux exercices proposés en bas en commentaire.

Signification de la Réciproque d’un Théorème ?

Nous imaginons que nous disposons du théorème suivant :  Si on a « A » alors on obtient  » B « . La réciproque de ce théorème sera :  » Si on a  » B  » alors on obtient « A ».

Réciproque du Théorème de Pythagore :

Réciproque du Théorème de Pythagore permet de démontrer qu’ un triangle est rectangle si l’égalité de Pythagore est vérifiée : 

   ( Hypoténuse )²  = ( Premier côté de l’angle droit )²  +  ( Deuxième côté de l’angle droit )²

 » Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et le plus grand côté est son hypoténuse « .

Par contre, la Contraposée du Théorème de Pythagoreest utilisée pour démontrer qu’ un triangle n’ est pas rectangle ( l’égalité de Pythagore n’est pas vérifié ) : 

   ( Hypoténuse )²   ( Premier côté de l’angle droit )²  + ( Deuxième côté de l’angle droit )²

Vidéo : Réciproque du Théorème de Pythagore :

Enoncé de l’exercice traité dans la vidéo : ABC est un triangle et les longueurs des 3 côtés sont : AB = 5cm, AC = 3cm et BC = 4cm

Question : Est ce que le triangle ABC est rectangle ?

Correction :Cas 1 la réciproque du théorème de pythagore

Puisque AB est le côté le plus long, si le triangle ABC est rectangle, il sera rectangle en C et on aura l’égalité du Théorème de Pythagore :  AB² = CA² + CB²

On vérifie par le calcul : AB²  = 5²  = 25

                              AC² + BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

On constate que :            AB² = AC² + BC²   

D’après la Réciproque du Théorème de Pythagore, ABC est un triangle rectangle en C.

Autres Exos : Réciproque du Théorème de Pythagore :

Exercice 1 :

Soit ABC un triangle et les longueurs de ses côtés  sont :  BC = 8 cm  ,  AC = 10 cm  et AB = 6 cm

Questions :

1/ Si le triangle ABC est rectangle, il le sera en quel sommet ( A, B ou C )

2/ Démontrer que le triangle ABC est rectangle.

Réponses :

1/ Parmi les trois langueurs, AC = 10cm est la plus grande. Donc, le triangle peut être rectangle en B ( l’hypoténuse est le côté AC )

2/ 

On applique l’égalité du Théorème de PythagoreAC² = BA² + BC²

On vérifie par le calcul :   

On a : AC²  = 10²  = 100

Et :     BA² + BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100

On remarque que : AC² = BA² + BC²

D’après la Réciproque du Théorème de Pythagore,  ABC est un triangle rectangle en B.

Exercice 2 : 

Parmi les cas ci-dessous, trouve ceux qui représente un triangle rectangle. Tu laisses tes réponses justifiées en bas en commentaire et tu aura la correction.

1. Longueurs des côtés : 10 cm, 6 cm et 8 cm 

2. Longueurs des côtés : 20 cm,13 cm et 15 cm 

3. Longueurs des côtés : 9 cm, 3 cm et 8,5 cm. 

4. Longueurs des côtés : 13 cm, 12 cm et 5 cm 

5. Longueurs des côtés : 5 cm, 4 cm et 3 cm. 

6. Longueurs des côtés : 20 cm, 16 cm et 12 cm 

7. Longueurs des côtés : 22 cm,19 cm et 9 cm 

8. Longueurs des côtés : 15 cm, 12 cm et 9 cm. 

9. Longueurs des côtés : 7 cm, 5 cm et 4.5 cm

10. Longueurs des côtés : 20 cm,18 cm et 9 cm  

Exercice 3 :  ( Les réponses en bas en commentaire … ) 

Cas 1 : Construis un triangle ABC tel que :  AB = 6,8 cm , BC = 10,5 cm et AC = 8 cm. 

Question  Ce triangle est-il rectangle ? Justifie ta réponse.

Cas 2 Construis un triangle DEF tel que : DE = 6,6 cm , EF = 11,2 cm et DF = 13 cm.
Question Ce triangle est-il rectangle ? Justifie ta réponse.

Cas 3 : Construis un triangle IJK  tel que : IJ = 9,1 cm , JK = 9,7 cm et IK = 13,3 cm.
Question Ce triangle est-il rectangle ? Justifie ta réponse.

Cas 4 : Construis un triangle XYZ tel que : XY = 8,7 cm , YZ = 11,6 cm et XZ = 14,5 cm.
Question Ce triangle est-il rectangle ? Justifie ta réponse.

Exercice 4 : ( les réponses en bas en commentaire … ) 

On considère deux triangle ABC et ADC tels que AB = 56, AC = 70, BC = 42, AD = 24 et DC = 74. 

Démontrer que les deux triangles ABC et ADC sont rectangles ( toutes les longueurs en mm)..


Autres liens utiles :


Si ce n’est pas encore clair sur Comment démontrer qu’ un triangle est rectangle à l’aide de Réciproque du Théorème de Pythagore, n’hésite surtout pas de laisser un commentaire en bas et nous te répondrons le plutôt possible :).

Sinon, après avoir lu ce cours, écris le mot qui te passe à la tête

Réciproque du Théorème de Pythagore | Démontrer qu’un triangle est rectangle
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