1. Réciproque du Théorème de Pythagore :

Nous allons voir dans ce cours ce que c’est la Réciproque du Théorème de Pythagore à l’aide de plusieurs exercices détaillés et à la fin du cours, tu peux répondre aux exercices proposés en bas en commentaire.

1.1 Signification de la Réciproque d’un Théorème ?

Nous imaginons que nous disposons du théorème suivant :  Si on a “A” alors on obtient ” B “. La réciproque de ce théorème sera : ” Si on a ” B ” alors on obtient “A”.

1.2 Réciproque du Théorème de Pythagore :

Réciproque du Théorème de Pythagore permet de démontrer qu’ un triangle est rectangle si l’égalité de Pythagore est vérifiée : 

   ( Hypoténuse )²  = ( Premier côté de l’angle droit )²  +  ( Deuxième côté de l’angle droit )²

” Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et le plus grand côté est son hypoténuse “.

Par contre, la Contraposée du Théorème de Pythagore est utilisée pour démontrer qu’ un triangle n’ est pas rectangle ( l’égalité de Pythagore n’est pas vérifié ) : 

   ( Hypoténuse )²   ( Premier côté de l’angle droit )²  + ( Deuxième côté de l’angle droit )²

1.3 Vidéo sur la Réciproque du Théorème de Pythagore ( Exo Corrigé ) :

Enoncé de l’exercice traité dans la vidéo : ABC est un triangle et les longueurs des 3 côtés sont : AB = 5cm, AC = 3cm et BC = 4cm

Question : Est ce que le triangle ABC est rectangle ?

Correction :Cas 1 la réciproque du théorème de pythagore

Puisque AB est le côté le plus long, si le triangle ABC est rectangle, il sera rectangle en C et on aura l’égalité du Théorème de Pythagore :  AB² = CA² + CB²

On vérifie par le calcul : AB²  = 5²  = 25

                              AC² + BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

On constate que :            AB² = AC² + BC²   

D’après la Réciproque du Théorème de Pythagore, ABC est un triangle rectangle en C.

2. Autres Exos sur la Réciproque du Théorème de Pythagore :

Exercice 1 ( Corrigé ) :

Soit ABC un triangle et les longueurs de ses côtés  sont :  BC = 8 cm  ,  AC = 10 cm  et AB = 6 cm

Questions :

1/ Si le triangle ABC est rectangle, il le sera en quel sommet ( A, B ou C )

2/ Démontrer que le triangle ABC est rectangle.

Réponses :

1/ Parmi les trois langueurs, AC = 10cm est la plus grande. Donc, le triangle peut être rectangle en B ( l’hypoténuse est le côté AC )

2/ 

On applique l’égalité du Théorème de PythagoreAC² = BA² + BC²

On vérifie par le calcul :   

On a : AC²  = 10²  = 100

Et :     BA² + BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100

On remarque que : AC² = BA² + BC²

D’après la Réciproque du Théorème de Pythagore, ABC est un triangle rectangle en B.

Exercice 2 : 

Parmi les cas ci-dessous, trouve ceux qui représente un triangle rectangle. Tu laisses tes réponses justifiées en bas en commentaire et tu aura la correction.

1. Longueurs des côtés : 10 cm, 6 cm et 8 cm 

2. Longueurs des côtés : 20 cm,13 cm et 15 cm 

3. Longueurs des côtés : 9 cm, 3 cm et 8,5 cm. 

4. Longueurs des côtés : 13 cm, 12 cm et 5 cm 

5. Longueurs des côtés : 5 cm, 4 cm et 3 cm. 

6. Longueurs des côtés : 20 cm, 16 cm et 12 cm 

7. Longueurs des côtés : 22 cm,19 cm et 9 cm 

8. Longueurs des côtés : 15 cm, 12 cm et 9 cm. 

9. Longueurs des côtés : 7 cm, 5 cm et 4.5 cm

10. Longueurs des côtés : 20 cm,18 cm et 9 cm  

Exercice 3 :  ( n’ hésite surtout pas répondre et laisser tes réponses en bas en commentaire … ) 

Cas 1 : Construis un triangle ABC tel que :  AB = 6,8 cm , BC = 10,5 cm et AC = 8 cm. 

Question  Ce triangle est-il rectangle ? Justifie ta réponse.

Cas 2 Construis un triangle DEF tel que : DE = 6,6 cm , EF = 11,2 cm et DF = 13 cm.
Question Ce triangle est-il rectangle ? Justifie ta réponse.

Cas 3 : Construis un triangle IJK  tel que : IJ = 9,1 cm , JK = 9,7 cm et IK = 13,3 cm.
Question Ce triangle est-il rectangle ? Justifie ta réponse.

Cas 4 : Construis un triangle XYZ tel que : XY = 8,7 cm , YZ = 11,6 cm et XZ = 14,5 cm.
Question Ce triangle est-il rectangle ? Justifie ta réponse.

Exercice 4 : ( n’ hésite surtout pas répondre et laisser tes réponses en bas en commentaire … ) 

On considère deux triangle ABC et ADC tels que AB = 56, AC = 70, BC = 42, AD = 24 et DC = 74. 

Démontrer que les deux triangles ABC et ADC sont rectangles ( toutes les longueurs en mm)..


Autres liens utiles :


Si ce n’est pas encore clair sur Comment démontrer qu’ un triangle est rectangle à l’aide de Réciproque du Théorème de Pythagore, n’hésite surtout pas de laisser un commentaire en bas et nous te répondrons le plutôt possible :).

Sinon, après avoir lu ce cours, écris le mot qui te passe à la tête

Réciproque du Théorème de Pythagore | Démontrer qu’un triangle est rectangle
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