I/ Introduction sur les Suites Arithmétiques :

Parmi les suites de nombres, nous avons les suites arithmétiques qui permet de modéliser un bon nombre de situations dans notre vie courante. En cas de suites arithmétiques, on ajoute toujours le même nombre pour passer d’ un terme au suivant. Par contre, chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un nombre fixe en cas d’ une suite géométrique.

Les suites arithmétiques peut intervenir dans des cas concrets :

  • Amortissement du matériels informatiques achetés par une école;
  • Dans un cabinet médical, lors d’une épidémie, le nombre de patients augmente chaque jour d’un nombre fixe;
  • Placer une somme d’argent dans une banque au taux d’intérêt simple de % annuel.
  • …etc

II/ Suites Arithmétiques :

1) Définition

Exemple :

Prenons une suite numérique un telle que la différence entre chaque terme et son précédent est constante et égale par exemple à 7.

Le premier terme est égal à 5.

Donc, les premiers termes successifs sont : u0 = 5, u1 = 12, u2 = 19, u3 = 26, u4 = 33, …etc. 

u1 – u0 = 12 – 5 = 7

u2 – u1 = 19 – 12 = 7

u3 – u2 = 26 – 19 = 7

…etc

Cette suite est appelé une suite arithmétique.

Dans notre cas, c’est une suite arithmétique de raison 7 et le premier terme est égal à 2.

La suite est donc définie par : exemple de suite arithmétique de raison 7 suites arithmétiques et géométriquesDéfinition :

Une suite un est une suite arithmétique s’il existe un nombre r tel que pour tout entier n, on a : un+1 = un + r  ( r est appelé raison de la suite ).

Exercice : Démontrer si une suite est arithmétique

Nous allons montrer que la différence entre chaque terme et son précédent est constante.

1) Prenons la suite (un) définie par : un = 5 – 7n.

Question : la suite un, , est-elle arithmétique ?

2) Prenons la suite (vn) définie par : vn = 2 + n².

Question : la suite v, est-elle arithmétique ?

1)

un+1   un  = 5 – 7( n + 1 ) –  ( 5 – 7n )

un+1   un  = 5 – 7n – 7 –  5 + 7n

un+1   un  = -7

La différence entre un terme et son précédent est constante et égale à -7

Donc, un est une suite arithmétique de raison -7.

2)

vn+1   vn  = 2 + ( n + 1 )²  – ( 2 + n² )

vn+1   vn  = 2 + n² + 2n + 1 – 2 – n² 

vn+1   vn  = 2n + 1

La différence entre un terme et son précédent n’est pas constante.

Donc, vn n’est pas une suite arithmétique.

Démonstration :

Une suite arithmétique (un) de raison r et de premier terme u0 vérifie la relation : un  =  u0  + nr

On calcule les termes un par un de 0 à n :

u1  =  u0  + r

u2  =  u1  + r  = (u0  + r ) + r = u0  + 2r      ( On remplace u par l’ expression de u0 )

u3  =  u2  + r  = (u0  + 2r ) + r = u0  + 3r     ( On remplace u par l’ expression de u1 )

u4  =  u3  + r  = (u0  + 3r ) + r = u0  + 4r     ( On remplace u3 par l’ expression de u2 )

un  =  un-1  + r =   (u0  + ( n-1)r ) + r =  u0  + nr – r + r = u0  + nr

Exercice d’ application :

Nous allons déterminer la raison et le premier terme d’une Suite Arithmétique

Considérons la suite arithmétique (un) tel que u5 = 7 et u9 = 19 .

1) Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un).

2) Exprimer un en fonction de n.

Correction :

1)

Les termes de la suite arithmétique un ont  la forme suivant : un = u0 + nr

Donc :   u5 = u0 + 5r =  7    et     u9 = u0 + 9r =  19

On soustrait membre à membre pour calculer la raison r :

                     u9 – u5 = 19 – 7

⟺ u0 + 9r – u0 – 5r = 12

⟺               9r –  5r = 12

⟺                       4r = 12

                              r = 3

On calcule le premier terme u:

On a :  u5 = u0 + 5r =  7  et on remplace la valeur de la raison r :

u0 + 5 × 3 = 7 

        u0 = 7 – 15

        u0 = -8

2)

un = u0 + nr    soit    un =  -8 + n 3  = – 8 + 3n 

Donc :   un = – 8 + 3n   ( On dit que un est exprimée en fonction de n )

2) Variations d’ une suite arithmétique

Propriété :

uest une suite arithmétique de raison r.

– Si r > 0 alors la suite (un) est croissante.

– Si r < 0 alors la suite (un) est décroissante.

Démonstration :  

un+1 –  u = u +  r  –  un = r

– Si r > 0 alors  un+1 –  un  > 0 et la suite (un) est croissante.

– Si r < 0 alors  un+1 –  u < 0 et la suite (un) est décroissante.

Exemples :

un définie par un  12 + 7n est suite arithmétique croissante car la raison est positive et égale à 7.

vn définie par vn  7 – 5n est une suite arithmétique décroissante car la raison est négative et égale à -5.

3) Représentation graphique :

On appelle la représentation graphique d’ une suite ( un ) , l’ ensemble des points du plan de coordonnées ( n ; un

Ci-dessous, on a représenté une suite arithmétique de raison -2 et le premier terme u0 est égal à 5 (  un = 5 – 2n  ) : 

suite arithmétique forme explicite représentation graphique piger-lesmaths

On a :   u0 = 5   ;   u1 = 3  ;  u2 = 1  ;  u3 = -1  ; u4 = -3  ;  u5 = -5  ; u6 = -7 ; …

La représentation graphique de la suite ( un ) est l’ ensemble des points alignés en rouge pour les valeurs de n allant de 0 à 6.

Aussi, lorsque la représentation graphique d’ une suite est constituée de points alignés, cette suite est dite arithmétique.

III/ Autres liens utiles :


Au cas où tu as des questions sur les suites arithmétiques , n’hésite surtout pas de nous laisser un commentaire en bas de ce cours.

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Suites Arithmétiques – Cours sur les Suites – Première S, ES et L
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