I/ Introduction sur les Suites Géométriques :

Dans notre vie quotidienne, les suites géométriques et les suites arithmétiques permettent de modéliser beaucoup de situations. Dans le cas d’une suite géométrique, on passe au terme suivant en multipliant par le même nombre. Contrairement à une suite arithmétique ou on additionne.

Cas concrets ou les suites géométriques peuvent intervenir :

  • Les prêts bancaires ou les placements financiers avec taux d’intérêts.
  • Une population de bactéries se multiplie x fois tous les jours.
  • …etc

II/ Suites Géométriques

1) Définition

Exemple :

On considère une suite numérique (untelle que la différence entre chaque terme et son précédent est constante et égale par exemple à 3.

Supposant que premier terme est égal à 4, les autres termes seront comme suit :

u0 = 4,

u1 = 12,

u2 = 26,

u3 = 78,

u= 234,

u= 702.

Ce type de suite est appelée une suite géométrique.

Dans notre exemple, il s’agit d’une suite géométrique de raison 3 avec un premier terme égal à 4 :

suites géométriques exemple de suite géométrique piger-lesmathsDéfinition : Une suite (un) est une suite géométrique s’il existe un nombre q tel que pour tout entier n, on a : un+1  q x un 

Le nombre q est appelé raison de la suite.

Exercice d’ application 1 : Démontrer qu’une suite est géométrique.

La suite (un) définie par :  u = 5 x 7n  est-elle géométrique ?

un+1 / un = 5 x 7n+1/  5 x 7= 7n+1/ 7= 7

Le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égale à 7.

Donc, (un) est une suite géométrique de raison 7 et de premier terme u = 5 x 70 = 5

Exemple d’ application 2 :

Supposant que l’ on a placé un capital de 600€ sur un compte dont les intérêts annuels s’élèvent à 3%.

Chaque année, le capital est multiplié par 1,03.

Ce capital suit une progression géométrique de raison 1,03.

u1 = 1,03 x 600 = 618 

u2 = 1,03 x 618 = 636,54

u3 = 1,03 x 636,54 = 655,6362

De manière générale : un+1  = 1,03 u  avec  u0= 600

Egalement, on peut exprimer un en fonction de n :  u = 600 x 1,03n

Propriété :

(un) est une suite géométrique de raison q et de premier terme u0.

Pour tout entier naturel n, on a : u = ux qn

Démonstration :

La suite géométrique (un) de raison q et de premier terme u0 vérifie la relation : un+1  = q x un

On calcule les premiers termes :

u = q x u0

u = q x u1  = q ( q x u0 ) = q² x u0

u = q x u2  = q ( q² x u0 ) = qu0

u = q x u3  = q ( q3x u0 ) = q x u0

un  = q x un-1 =  q (qn-1 u0 ) = qn x u0

Exercice d’ application :

Déterminer la raison et le premier terme d’une suite géométrique.

Considérons la suite géométrique (un) tel que u4  = 5  et u7  = 135  .

Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un).

Les termes de la suite sont de la forme u = qn x u0

Ainsi  u4  = q u= 5 et  u7 = q7   u= 135.

Ainsi :

u7  /  u= q7 u/ qu0 q3  et  u7  /  u= 135 /  5 = 27

Donc :  q3  = 27

On utilise la fonction racine troisième de la calculatrice pour trouver le nombre qui élevé au cube donne 27 ( sinon, tu as accès gratuitement à la Calculatrice en ligne sur pigerlesmaths ).

donc : q = 3

2) Variations d’ une suite géométrique :

Propriété :

( un) est une suite géométrique de raison q et de premier terme non nul u0.

Pour u0 > 0 :

– Si q > 1 alors la suite (un) est croissante.

– Si 0 < q < 1 alors la suite (un) est décroissante.

Pour  u0 < 0

– Si q > 1 alors la suite (un) est décroissante.

– Si 0 < q < 1 alors la suite (un) est croissante.

Démonstration dans le cas où u0 > 0 :

un+1 – un = qn+1 u0 – qn  u0  =  u0 qn ( q – 1 ) 

– Si q > 1 alors  un+1 – un > 0 et la suite (un) est croissante.

– Si 0 < q < 1 alors  un+1 – un < 0 et la suite (un) est décroissante.

Exemple :

( un ) définie par   un = – 5 x 3n est une suite géométrique décroissante car le premier terme est négatif et la raison est supérieure à 1.

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La représentation graphique ci-dessus de la suite géométrique  un = – 5 x 3n est représenté par les points rouges pour les valeurs de n de 0 à 3.

III/ Autres liens utiles :


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Suites Géométriques – Cours sur les Suites – Première S, ES et L
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