Ce cours présente les formules fondamentales pour maîtriser la somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique et géométrique à l’aide de plusieurs exemples corrigés.

I/ Somme des termes consécutifs d’une suite :

1/ Somme des entiers consécutifs :

Soit n est un entier naturel non nul.

Si on note Sn la somme Sn1+ 2 + 3 + … + n 

Alors :     Sn = n(n + 1)/2

Exercice 1 :

Calcul de la valeur de S = 1 + 2 + 3 + … + 133

Corrigé :

S = 133 * 134 /2 = 8911

Exercice 2 :

Calcul de la valeur de S = 1 + 2 + 3 + 4 + …  + 216 + 217

Corrigé :

S = 217 * 218 /2 = 23 653

Exercice 3 :

Calcul de la valeur de S = 30 + 33 + 36 + …+ 264

Corrigé :

S = 30 + 33 + 36  + …+ 264

 = 3× (10 + 11 + 12 + …+ 88)

 = 3× ( ( 1+ 2 + …+ 88 ) − ( 1+ 2 + …+ 9 ) )

On utilise la formule de la somme d’ entiers consécutifs :

S = 3× ( ( 88×89 / 2 ) − ( 9×10 / 2 ) ) 

 = 3× ( 3916 − 45 )

 = 11 613

2/ Somme des termes consécutifs d’une suite Arithmétique

Une suite arithmétique a la forme suivante : un+1 = un + r ( r est la raison et il faut avoir toujours un premier terme u0 )

Soit ( un )n∈N une suite arithmétique de raison r.

Si on note Sn la somme Sn = u0+ u1 + u2 + … + un 

Alors   Sn = (n + 1) x ( u+ u) /2

Cette formule peut être généralisée à toute somme  de termes consécutifs d’une suite arithmétique sous la forme : 

S = ( Nombres de termes ) x ( Premier terme + Dernier terme ) /2

Exercice 1 :

On considère la suite ( un ) arithmétique de premier terme 3 et de raison 2.

Déterminer la valeur de la somme : S = u0 + u1 + · · · + u34

Corrigé :

( u) est une suite arithmétique et a la forme suivante : u= u0 + nr

Donc :  u34 = 3 + 34*2 = 71

Donc : S(n + 1) x ( u+ u) /2  = 35* ( 3 + 71 )/2 = 35*37 = 1295

Exercice 2 :

On considère la suite ( vn ) définie pour tout entier naturel n (n∈N) par : vn = 2−3n

Déterminer la valeur de la somme : S = v4 + v5 + · · · + v15

Corrigé :

( vn ) est une suite arithmétique : vn = 2−3n.

Donc,  v0 = 2 et r = -3

On calcule  v4 :    v= 2 – 3*4 = 2 – 12 = -10

On calcule  v15 :  v15 = 2 – 3*15 = 2 – 45 = -43

Donc : S(15 – 4 + 1) x ( v+ v15 ) /2  = 12* ( -10 – 43 )/2 = 12*(-53) = – 636

Exercice 3 :

( wn )n∈N une suite arithmétique de premier terme 3 et de raison 1/2

a. Calculer la somme des 14 premiers termes de ( wn ) :

S1 = w0 + w1 + · · · + w12 + w13

b. Calculer la somme des termes de ( wn ) allant de w3 à w14 :

S2 = w3 + w6 + · · · + w13 + w14

Corrigé :

a. 

( wn ) est une suite arithmétique de premier terme 3 et de raison 1/2

Donc :  wn = 3 + 1/2n    et   w13 = 3 + 1/2*13 = 3 + 6.5 = 9.5

Donc : S1 = (13 + 1) x ( w+ w13 ) /2  = 14*( 3 + 9.5 )/2 = 14* 6.25 = 87.5

b.

w3 = 3 + 1/2*3 = 3 + 1.5 = 4.5

w14 = 3 + 1/2*14= 3 + 7 = 10

Donc : S2 = (14 – 3 + 1) ( w+ w14 ) /2  = 12*( 4.5 + 10 )/2 = 12 * 7.25 = 87

3/ Somme des puissances successives :

Pour calculer la somme des puissances successives d’un même nombre, on utilise la formule suivante : 

1 + q + q² + q3 + q4 + q5 + … + qn = ( 1 – qn+1 ) / ( 1 – q )

Exemples : 

S1 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 

S2 = 1 + 3 + 9 + 27 + … +  6561 

Corrigés : 

S1= 1 + 2 + 2² + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 = ( 1 – 28 ) / ( 1 – 2 ) = -255 / -1 = 255

S2 = 1 + 3 + 9 + 27 + … + 6561 = ( 1 – 39 ) / ( 1 – 3 ) =  -19682 / -2 = 9841

4/ Somme des termes consécutifs d’une suite Géométrique

Une suite géométrique a la forme suivante : un+1 = un* q ( q est la raison et il faut avoir toujours un premier terme u0 ).

Soit n est un entier naturel non nul.

Si on note Sn la somme Sn = u0+ u1 + u2 + … + un 

Alors :     Sn = Ux (1 – qn+1) / ( 1-q )

Cette formule peut être généralisée à toute somme  de termes consécutifs d’une suite géométrique

S = ( Premier terme ) x ( ( 1 – qnombre de termes / ( 1 – q ) )

Exercice 1 :

On considère la suite ( un ) géométrique de premier terme 5 et de raison 3.

Déterminer la valeur de la somme : S = u0 + u1 + · · · + u9

Corrigé :

( un ) est une suite géométrique de premier terme -5 et de raison 3.

Donc : S = (-5) x ( ( 1 – 310 / ( 1 – 3 ) ) =  (-5) x ( 1 –  59049 ) /– 2 = (-5) x 29524 = – 147620

Exercice 2 :

On considère la suite ( vn ) dont le terme de rang n, un entier naturel (n∈N), est définie par : vn = 3/4n
Déterminer la valeur de la somme S′S′ = v5 + v6 + · · · + v12

Corrigé :

vn = 3/4 Donc:  le premier terme est 3 et la raison est égal à 1/4

Le nombre de termes est : 12 – 5 + 1 = 8

Donc : S’ = 3 x ( 1 – (1/4)/ ( 1 –  (1/4 ) ) = 1.33331298828125 ≈ 1.3

Exercice 3 :

S =  10 + 30 + 90 + … +  21 870

Corrigé :

S =  10 + 30 + 90 + … +  21 870 

 = 10*1 + 10*3 + 10*9 + … + 10*2187

 = 10*1 + 10*31 + 10*3² + … + 10*37

Ci-dessus, nous avons la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique ( premier terme est égal à 10 et la raison égal à 3 ) :

Donc : S = 10 x ( 1 – 38 ) / ( 1 – 3 ) = 10 x 3 280 = 32 800

II/ Autres cours utiles sur les suites :

 

Somme des termes consécutifs d’une Suite Arithmétique ou Géométrique ( Première S )