Somme des termes consécutifs d’une Suite Arithmétique ou Géométrique

Ce cours présente les formules fondamentales pour maîtriser la somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique et géométrique à l’aide de plusieurs exemples corrigés.

Somme des termes consécutifs d’une suite:

Somme des entiers consécutifs :

Soit n est un entier naturel non nul.

Si on note S_n la somme S_n = 1+ 2 + 3 + … + n 

Alors :     S_n = n(n + 1)/2

Exercice 1 :

Calcul de la valeur de S = 1 + 2 + 3 + … + 133

Corrigé :

S = 133 * 134 /2 = 8911

Exercice 2 :

Calcul de la valeur de S = 1 + 2 + 3 + 4 + …  + 216 + 217

Corrigé :

S = 217 * 218 /2 = 23 653

Exercice 3 :

Calcul de la valeur de S = 30 + 33 + 36 + …+ 264

Corrigé :

S = 30 + 33 + 36  + …+ 264

   = 3× (10 + 11 + 12 + …+ 88)

   = 3× ( ( 1+ 2 + …+ 88 ) − ( 1+ 2 + …+ 9 ) )

On utilise la formule de la somme d’ entiers consécutifs :

S = 3× ( ( 88×89 / 2 ) − ( 9×10 / 2 ) )   

   = 3× ( 3916 − 45 )

   = 11 613

Somme des termes consécutifs d’une suite Arithmétique

Une suite arithmétique a la forme suivante :  u_n+1 = u_n + r ( r est la raison et il faut avoir toujours un premier terme u₀ )

Soit ( u_n )_n∈N une suite arithmétique de raison r.

Si on note S_n la somme S_n = u₀+ u₁ + u₂ + … + u_n   

Alors   S_n = (n + 1) x ( u₀ + u_n ) /2

Cette formule peut être généralisée à toute somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique sous la forme : 

S = ( Nombres de termes ) x ( Premier terme + Dernier terme ) / 2

Exercice 1 :

On considère la suite ( u_n ) arithmétique de premier terme 3 et de raison 2.

Déterminer la valeur de la somme : S = u₀ + u₁ + · · · + u₃₄

Corrigé :

( u_n ) est une suite arithmétique et a la forme suivante : u_n = u₀ + nr

Donc :  u₃₄ = 3 + 34*2 = 71

Donc :

S = (n + 1) x ( u₀ + u_n ) /2 

   = 35* ( 3 + 71 )/2

   = 35*74/2

   = 1295

Exercice 2 :

On considère la suite ( v_n ) définie pour tout entier naturel n (n∈N) par :  v_n = 2−3n

Déterminer la valeur de la somme : S = v₄ + v₅ + · · · + v₁₅

Corrigé :

( v_n ) est une suite arithmétique : v_n = 2−3n.

Donc,  v₀ = 2 et r = -3

On calcule  v₁₅ :  v₁₅ = 2 – 3*15 = 2 – 45 = -43

Et   v₄ = 2 – 3*4 = 2 – 12 = -10

Donc S = (15 – 4 + 1) x ( v₄ + v₁₅ ) /2 

             = 12* ( -10 – 43 )/2

             = 12*(-53)/2

             = – 636 /2

             = – 318.

Exercice 3 :

( w_n )_n∈N une suite arithmétique de premier terme 3 et de raison 1/2

a. Calculer la somme des 14 premiers termes de ( w_n ) :

S₁ = w₀ + w₁ + · · · + w₁₂ + w₁₃

b. Calculer la somme des termes de ( w_n ) allant de w₃ à w₁₄ :

S₂ = w₃ + w₆ + · · · + w₁₃ + w₁₄

Corrigé :

a. 

( w_n ) est une suite arithmétique de premier terme 3 et de raison 1/2

Donc :  w_n = 3 + 1/2n    et   w₁₃ = 3 + 1/2*13 = 3 + 6.5 = 9.5

Donc : S₁ = (13 + 1) x ( w₀ + w₁₃ ) /2 

                 = 14*( 3 + 9.5 )/2

                 = 14* 6.25

                 = 87.5

b.

w₃ = 3 + 1/2*3 = 3 + 1.5 = 4.5

w₁₄ = 3 + 1/2*14= 3 + 7 = 10

Donc : S₂ = (14 – 3 + 1) x ( w₃ + w₁₄ ) /2 

                = 12*( 4.5 + 10 )/2

                = 12 * 7.25

                = 87

Somme des puissances successives:

Pour calculer la somme des puissances successives d’un même nombre, on utilise la formule suivante : 

1 + q + q² + q³ + q⁴ + q⁵ + … + qⁿ = ( 1 – qⁿ⁺¹ ) / ( 1 – q )

Exemples : 

S₁ = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 

S₂ = 1 + 3 + 9 + 27 + … +  6561 

Corrigés : 

S1= 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷

   = ( 1 – 2⁸ ) / ( 1 – 2 )

   = -255 / -1

   = 255

S₂ = 1 + 3 + 9 + 27 + … + 6561

    = ( 1 – 3⁹ ) / ( 1 – 3 )

    =  -19682 / -2

    = 9841

Somme des termes consécutifs d’une suite Géométrique

Une suite géométrique a la forme suivante : u_n+1 = u_n* q (q est la raison et il faut avoir toujours un premier terme u₀).

Soit n un entier naturel non nul.

Si on note S_n la somme S_n = u₀+ u₁ + u₂ + … + u_n 

Alors :     S_n = U₀ x (1 – qⁿ⁺¹) / ( 1-q )

Cette formule peut être généralisée à toute somme  de termes consécutifs d’une suite géométrique : 

S = ( Premier terme ) x ( ( 1 – q^{nombre de termes} ) / ( 1 – q ) )

Exercice 1 :

On considère la suite ( u_n ) géométrique de premier terme -5 et de raison 3.

Déterminer la valeur de la somme :  S = u₀ + u₁ + · · · + u₉

Corrigé :

( u_n ) est une suite géométrique de premier terme -5 et de raison 3.

Donc :

S = (-5) x ( ( 1 – 3¹⁰ ) / ( 1 – 3 ) )

   = (-5) x ( 1 –  59049 ) / (- 2)

   = (-5) x ( – 59048 ) / (-2)

   = -147620

Exercice 2 :

On considère la suite ( v_n ) dont le terme de rang n, un entier naturel (n∈N), est définie par : v_n = 3/4ⁿ
Déterminer la valeur de la somme S′ :  S′ = v₅ + v₆ + · · · + v₁₂

Corrigé :

v_n = 3/4ⁿ   Donc:  le premier terme est v₅ = 3/4⁵ et la raison est égal à 1/4

Le nombre de termes est : 12 – 5 + 1 = 8

Donc : S’ = 3/4⁵ x  ( 1 – (1/4)⁸ ) / ( 1 –  (1/4 ) ) = 0.0039061904 ≈ 4.10^-3

Exercice 3 :

S =  10 + 30 + 90 + … +  21 870

Corrigé :

S =  10 + 30 + 90 + … +  21 870 

     = 10*1 + 10*3 + 10*9 + … + 10*2187

     = 10*1 + 10*3¹ + 10*3² + … + 10*3⁷

Ci-dessus, nous avons la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique ( premier terme est égal à 10 et la raison égal à 3 ) :

Donc : S = 10 x ( 1 – 3⁸ ) / ( 1 – 3 ) = 10 x 3 280 = 32 800

---

Autres cours utiles sur les suites:

• Cours sur les suites arithmétiques ( Première S, Es et L )
• Exercices Corrigés sur les suites arithmétiques ( Première S, Es et L )
• Cours sur les suites géométriques ( Première S, Es et L )
• Consultez aussi la Page Facebook de Piger-lesmaths