Dans ce cours, nous allons voir la Fonction Logarithme népérien : Définition, sa relation avec la fonction exponentielle, Propriétés et des exercices d’ application sur comment résoudre les équations et inéquations.

Fonction Logarithme Népérien

1. Définition : Fonction Logarithme Népérien

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ.

Pour tout réel a de ] 0 ; + ∞  [ l’équation ex = a  admet une unique solution dans ℝ.

Définition : On appelle logarithme népérien d’ un réel strictement positif a, l’unique solution de l’équation ex = a. On la note ln a

La fonction logarithme népérien, est notée ln : ] 0 ; + ∞  [  ⟶ ℝ

                                                                                           x ⟼  ln x 

Exemple :

L’équation  ex = 6 admet une unique solution. Il s’agit de  x = ln 6

A l’aide de la calculatrice, on peut obtenir une valeur approchée : x = 1,79

Remarque importante :

Les courbes représentatives de la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équation  y = x.

fonction logarithme népérien

x = ea est équivalent à  a = ln x  avec  x > 0

ln 1 = 0   ;  ln e = 1   ;  ln 1/e = ln e-1 = -1

Démonstrations :

ln 1 = 0  parce que  e0  = 1

ln e = 1   parce que e1  = e

ln 1/e = ln e-1 = -1     ( 1/e = e-1 )

Pour tout x,  ln ex  = x

Si on pose y = ex , alors x  = ln y = ln ex

Pour tout x strictement positif, eln x x

Si on pose y = ln x , alors x  = ey=  eln x

Exemples : 

eln7 = 7  ;   eln5 = 5    et   ln e4= 4

Autres Propriétés :

Pour tous réels x et y strictement positifs, on a :

a)  ln x  = lny     ⟺   x  = y   ( Démonstration :   x  = y   ⟺  eln x  =  eln y   ⟺  ln x  = ln y )

b)  ln x  <  lny   ⟺   x  < y   ( Démonstration :   x  < y   ⟺  eln x  < eln y   ⟺  ln x  = ln y )

Exercices d’ application : Résoudre une équation

Résoudre dans I les équations et inéquations suivantes :

a) ln x = 3 , I = ]0 ; + ∞[

b) ex+1 = 5, I = ℝ

c) 3ln x − 4 = 8 , I = ]0 ; + ∞[

Correction :

a)     ln x = 3
⇔     ln x = lne3
⇔          x = e3                          La solution est e3 .

b)    ex+1 = 5
⇔   ex+1 = eln 5
⇔   x + 1 = ln5
⇔          x = ln5 − 1               La solution est ln5 − 1.

c) 3ln x − 4 = 8
⇔ 3ln x = 12
⇔ ln x = 4
⇔ ln x = ln e4
x = e4

La solution est e4.

Exercices d’ application : Résoudre une inéquation

Résoudre dans I les équations et inéquations suivantes :

a) ln(6x − 1) ≥ 2 ,  I = ]1/6 ; + ∞[

b) e+ 5 > 4ex , I = ℝ

Correction :

a) ln(6x − 1) ≥ 2
⇔ ln(6x − 1) ≥ ln e2
⇔ 6x − 1 ≥ e2
x ≥ (e2 + 1 )/6

L’ensemble solution est donc [ (e2 + 1 )/6  ; + ∞[

b) ex + 5 > 4ex
⇔ ex − 4ex > −5

⇔ −3ex > −5

⇔      ex < -5/-3

⇔      ex < 5/3

⇔      ex < eln( 5/3)

⇔        x < ln( 5/3)

L’ensemble solution est donc ] -∞ ; ln( 5/3) [

2. Propriétés de la fonction logarithme népérien

1. Théorème :

Pour tous réels x et y strictement positifs, on a : ln( x × ) = ln x + ln y

Démonstration :

eln( x× y) = x × y = eln x × eln y = eln x+ln y
Donc  ln( x × y) = ln x + ln y

2. Formules :

a) ln 1 /x = − ln x
b) ln x/y = ln x − ln y
c) ln x1/2 = 1/2 ln x
d) ln xn = n ln  x     avec n entier relatif

Démonstrations :

a) ln 1/x – ( –  ln x ) = ln 1/x + ln x = ln ( 1/x  x  x  ) = ln 1 = 0

b) ln x/y = ln (   1/y  ) = ln x + ln (  1/y ) =  ln x –  ln (  y )

c)  2ln x1/2 = ln x1/2+ ln x1/2  = ln( x1/2  × x1/2  ) = ln x

3. Exercice d’ application : Résoudre une équation

1) Résoudre dans ! l’équation : 8x = 3
2) Résoudre dans ] 0;+∞ [  l’équation : x7 = 5
3) Tu as 9 augmentations successives de t % correspondent à une augmentation globale
de 60 %. Donner une valeur approchée de t.

Correction :

1)

8x = 3
⇔ ln 8x = ln3
x ln8 = ln3
x = ln3 / ln8

La solution est ln3 / ln8

2) Comme x > 0 , on a :

x7 = 5

⇔  ln ( x7 ) = ln 5
⇔      7 ln x = ln 5
⇔         ln x = 1/7 ln5
⇔         ln x = ln ( 51/7 )

⇔         x = 51/7

La solution est :  31/5

3)

Le problème revient à résoudre dans ] 0;+∞ [  l’équation :  ( 1 + t/100 )9= 1,6

( 1 + t/100 )9= 1,6

⇔ ln ( 1 + t/100 )= ln ( 1,6 ) 

⇔ 8. ln ( 1 + t/100 ) = ln ( 1,6 ) 

⇔ ln ( 1 + t/100 ) = 1/8 ln ( 1,6 ) 

⇔ ln ( 1 + t/100 ) = ln ( 1,61/9

⇔ 1 + t/100  = 1,61/9  

⇔  t = 100.(1,61/9  – 1 ) ≈ 5.3       ( Pour calculer 1,61/9 tu peux utiliser notre Calculatrice en ligne gratuite

Une augmentation globale de 60 % correspond à 9 augmentations successives d’environ 5,3 %.

Fonction Logarithme Népérien
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