Nous allons voir dans ce cours, différents aspects sur les nombres complexes : Ensemble des nombres complexes ℂ, Forme Algébrique, L’ inverse, le Conjugué et le Module d’ un nombre complexe avec des exemples détaillés.

Définition de l’ Ensemble des Nombres Complexes ℂ

Il existe un ensemble de nombres, noté ℂ, appelé ensemble des nombres complexes qui possède les propriétés suivantes :

– ℂ contient ℝ.

– Dans ℂ, on définit une addition et une multiplication qui suivent les mêmes règles de calcul que dans ℝ.

– Il existe dans ℂ un nombre i tel que i² = -1

– Tout élément z de ℂ s’écrit de manière unique sous la forme ( dite Forme Algébrique ) : 

a + ib avec a et b qui sont des nombres réels.

Forme Algébrique d’un Nombre Complexe

La forme algébrique d’un nombre complexe est a + ib  où  a et b sont deux nombres réels.

Si  z = a + ib   ( où a et b sont deux nombres réels )

a représente la partie réelle de z, notée Re(z).

b représente la partie imaginaire de z, notée Im(z).

On peut écrire : Re(z) = a    et      Im(z) = b

Remarques :

– Le nombre z est réel si et seulement si Im (z) = 0

– Le nombre z est Imaginaire Pur si et seulement si Re (z) = 0

Exemple 1 :

Soit le nombre complexe suivant : -13 + 5i

La partie réelle du nombre z est : Re(z) = -13

La partie imaginaire du nombre z est : Im(z) = 5

Exemple 2 :

Soit le nombre complexe suivant : -7 – 19i

La partie réelle du nombre z est : Re(z) = -7

La partie imaginaire du nombre z est : Im(z) = -19

Autres Exemples :  Nombre Complexe sous forme Algébrique

A = 3 – 5i – ( 3i – 4 )  = ?

B =  ( 3 -2i )(-1 +5i )  = ?

C =  ( 2 – 3i )²  = ?

D =  ( 3i )5 =  ?

Correction :

A = 3 – 5i – ( 3i – 4 )  

A = 3 – 5i –  3i + 4 

A = 7 – 8i

Donc :

La partie réelle du nombre z est : Re(z) = 7

La partie imaginaire du nombre z est : Im(z) = – 8

B =  ( 3 – 2i )( -1 + 5i ) 

B =  -3 + 15i  +2i +10

B =  7 + 17i

Donc :

La partie réelle du nombre z est : Re(z) = 7

La partie imaginaire du nombre z est : Im(z) = 17

C =  ( 2 – 3i )² 

C =  2² + ( 3i )² – 2*2*(3i)      ( Identité Remarquable )

C =  4 – 9 –  12i

C =  – 5 – 12i

Donc :

La partie réelle du nombre z est : Re(z) = – 5

La partie imaginaire du nombre z est : Im(z) = – 12

D =  ( 3i )5

D =  35 * i 5

D =  243 * i    

D =  243i

Donc :

La partie réelle du nombre z est : Re(z) = 0

La partie imaginaire du nombre z est : Im(z) = 243

Pourquoi : i5  = i   ?

i5 = i² * i² * i = (-1) * (-1) * i = 1 * i = i

Nombre Complexe Égaux ? ( Théorème )

On dit que deux nombres complexes sont égaux si et seulement s’ ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.

Inverse d’ un nombre Complexe :

Soit z est un nombre complexe non nul. il existe un nombre complexe z’ tel que  z*z’ = zz’ = 1.

Le nombre complexe z’ représente l’ inverse de z :  z’ = 1/z

Exemple : l’ inverse de i est -i

i * ( -i ) = – i * i = – ( -1 ) =  1

Conjugué d’ un Nombre Complexe :

Définition :

Soit z un nombre complexe : z = a + ib  ( où a et b sont deux nombres réels )

Le nombre complexe conjugué de z est le nombre noté :

nombres complexes notation du conjugué math terminal s

Exemples : Conjugué de Nombres Complexes

conjugué des nombres complexe pigerlesmaths

Propriétés des Conjugués :

Pour tous nombres complexes z et z’ et tout entier naturel n :

Module d’ un Nombre Complexe :

Définition :

Soit z = a + b i ( où a et b sont deux nombres réels et z est sous la forme algébrique ).

On appelle le module du nombre complexe z, le nombre réel défini par :


Remarques :

– Le module d’un nombre complexe est un réel positif.
– Deux nombres complexes distincts peuvent avoir le même module : 

nombres complexes

Exo : Calcul du Module des Nombres Complexes

Calcul du module des exemples suivants : 

| 1 + 4i | = ?

| 3 – 5i | = ?

nombre complexe calcul module

| -7 | = ?     ( -7 est un Nombre réel car Im ( -7 ) = 0 ) 

| – 6i | = ?  ( -6i est un Imaginaire Pur car Re( -6i ) = 0 )

nombres complexes

 

 

Correction :

nombres complexes


Autres liens utiles :

Nombres Complexes ( Ensemble ℂ, Forme Algébrique, Inverse, Conjugué & Module )