Dans ce cours sur l’encadrement et les opérations, nous allons voir :

  • un rappel sur comment représenter graphiquement une inégalité ?
  • Comment représenter graphiquement un encadrement et calculer son Amplitude ?
  • L’ordre et les opérations.

1/ Amplitude d’un encadrement ?

Si x > a     et < b     on écrit :   a  < x <  b ( x strictement supérieur à  a  et strictement inférieur à  b )

Cette écriture est appelé un ” encadrement  de x.

L’amplitude de cet encadrement est la longueur du segment qui a pour extrémités les points d’abscisses b et a soit b – a.

2/ Encadrement et le calcul de l’ amplitude :

Exemple 1 : Définir un encadrement pour x tel que : x > 0        et x < 3 

On a :  x > 0 et  x < 3                    ( x est supérieur strictement à 0 et en même temps strictement inférieur à 2 )

Donc :              0  < x <   3

  •  La représentation graphique de x > 0 :

représenter graphiquement x > 0

  • La représentation graphique de x < 3  :

représentation graphique d'un encadrement

  • La représentation graphique de l’encadrement   0  < x <  3  :

représentation graphique d'un encadrement

La représentation graphique de l’encadrement de x est la partie Verte ( L’ intersection des deux intervalles Marron et Bleu ) .

Donc,  x peut prendre toutes les valeurs entre 0 et 3.  

La valeur de x, ne peut ni être égal à 0 ni à 3 car les deux crochets sont ouverts vers l’extérieur de l’intervalle.

  • L’amplitude de l’encadrement est 3 Car    3 – 0 = 3

 

Exemple 2 : Définir un encadrement pour x tel que : x > -1  et x ≤ 1,5 :  

On a : x > -1  et  ≤ 1,5

Donc,      -1 < x ≤ 1,5

  • La représentation graphique de x > -1 :

représentation graphique d'un encadrement   

  • La représentation graphique de x ≤ 1,5 :

représentation graphique d'un encadrement

 

  • La représentation graphique de l’encadrement -1 < x ≤ 1,5 :

représentation graphique d'un encadrement

Donc, x peut prendre toute les valeurs entre -1 et 1,5  ( -1 exclus  et 1,5 inclus ).

  • L’amplitude de l’encadrement est 2,5 Car     1,5 – (-1) = 1,5 + 1 = 2,5    

3/ Ordre et les opérations :

Propriété 1 :

Prenons  a, b et c des nombres relatifs :

Si     a <  b      Alors      a +  c < b + c 

Si     a <  b      Alors      a –  c < b  –  c 

Exemple 1 : Sachant que a < -3,5  déduis-en une inégalité pour a + 7

Réponse :

On a :               a  <  -3,5 

Alors          a + 7  <  -3,5 + 7

Donc :        a + 7  <  3,5

Exemple 2 :  Sachant que a > 5   déduis-en une inégalité pour a – 7

Réponse :

 On a :         a > 5

Alors      a – 7 > 5 – 7    Voir Comment additionner des nombres relatifs ?

Donc :    a – 7 > -2  

Propriété 2 :

Prenons  a, b et c des nombres relatifs :

Si    a < x <  b      Alors   a +  c   < x + c  <  b + c 

Si   a  < x <  b      Alors    a –  c  < x –  c  <  b  –  c 

Exemple 1 : Sachant que   -2 < x <  -1  déduis-en un encadrement pour x + 4 

Réponse :

On a :                   -2 < x <  -1

Alors        -2 + 4x + 4 <  -1 + 4

Donc :               2  < x + 4   <  3

Exemple 2 :   Sachant que -2 <  <  -1  déduis-en une inégalité pour x – 2

Réponse :

On a :                 -2  < x <  -1

Alors         -2 – 2x – 2 <   -1 – 2    

Donc :             – 4  < x – 2  < -3

Propriété 3 :

Prenons  a et b  des nombres relatifs :

Pour tout nombre c Positif  :

Si     a <  b      Alors      ac < bc

Si    a < x <  b      Alors   ac < xc  <  bc 

Pour tout nombre c Négatif :

Si     a <  b      Alors      ac > bc 

Remarque : Si a <  b      Alors      -a > -b  ( dans ce cas  c = -1  donc, on inverse le sens du symbole de comparaison )

Exemple 1 :  Sachant que x < -3,5  déduis-en une inégalité pour  7x

Réponse :

 On a : x <  -3,5 

Alors 7 x   x < 7 x ( -3,5 )

Donc : 7x <  – 24,5

Exemple 2 : Sachant que  0 < x <  -3 déduis-en un encadrement pour  9x.

Réponse :

On a :                    0 < x <  -3

Alors   9 x 0 < 9 x < 9 x (-3) 

donc :   0  < 9x < -27

Exemple 3 :  Sachant que x < -2  déduis-en une inégalité pour  -7x

Réponse :

On a : x < -2

Alors  (-7) x   x  > (-7) x ( -2 )

Donc :  -7x  < 14

Exemple 4 : Sachant que x < -4  déduis-en une inégalité pour  – x

Réponse :

On a : x   -4

Alors (-1) x   x  >  (-1) x ( -4 )

Donc :                     –x  < 4 

Exemple 5 Sachant que x > -3  déduis-en une inégalité pour  -7x –  3

Réponse :

   > -3

 (-7) x   x  < (-7) x ( -3 )

  -7x  < 21

⟺            -7x – 3 < 21 – 3

  -7x – 3 < 18

Exemple 6 :  Sachant que 0 < x <  -5 déduis-en un encadrement pour  9x + 2

Réponse :

   <   x  < -5

⟺ 9 x <  9 x  <  9 x  (-5)

⟺                      0 < 9x  < -45

⟺                0 + 2 < 9+ 2  < -45 + 2  

⟺                     29x + 2 < -43 

Propriété 4 :

Prenons  a et b  des nombres relatifs :

Pour tout nombre c strictement positif ( c > 0 ) :

Si     a <  b      Alors      a/c  <  b/c

Pour tout nombre c strictement Négatif ( c < 0 ) :

Si     a <  b      Alors      a/c  >  b/c 

Exemple 1 : Sachant que x < -6  déduis-en une inégalité pour x/3

Réponse :

  x  < -6

⟺  1/3 x  x  <  1/3 (-6)

⟺ x/3   < -6/3

⟺ x/3   < -2

Exemple 2 : Sachant que x > 2 déduis-en une inégalité pour  –x/4

Réponse :

 On a : x > 2

⟺ (-1/4) x  x  <  (-1/4 ) 2

⟺                      –x/4   < -2/4

⟺                      –x/4   < -1/2

4/ Exercice à faire sur l’ encadrement et Représentation Graphique :

1/ Représenter graphiquement l’ inégalité suivante : x <  -6 .

2/ Représenter graphiquement l’ encadrement suivant : 0 < x <  -5 .

3/ Représenter graphiquement l’ encadrement suivant : 0  y <  8 .

4/ Représenter graphiquement l’ encadrement suivant : -4 <   0 .

Déduit un encadrement pour : a + 1

5/ Représenter graphiquement l’ encadrement suivant : -2    1 .

Déduit un encadrement pour : –y + 2

6/ Sachant que x > 2 déduis-en une inégalité pour  2x

7/ Sachant que  < 5 déduis-en une inégalité pour + 3

8/ Sachant que  < -2 déduis-en une inégalité pour  –b/5


Autres liens utiles :


Si ce n’est pas encore clair pour toi ou tu as des questions sur l’ Encadrement et Représentation Graphique d’ une inégalité ou d’ un encadrement, Ordre et les Opérations , n’hésite surtout pas de laisser un commentaire en bas et nous te répondrons le plutôt possible.

Sinon, après avoir lu ce cours, écris le mot qui te passe à la tête

Encadrement : Représentation Graphique, Ordre et les Opérations