Dans cette partie sur l’encadrement et les opérations, nous allons voir dans les exemples :

  • un rappel sur comment représenter graphiquement une inégalité ?
  • Comment représenter graphiquement un encadrement et calculer son Amplitude ?
  • L’ordre et les opérations.

1/ Amplitude d’un encadrement ?

Si     x > a     et    < b     on écrit :   a  <   x  <  b       ( x  strictement supérieur à  a  et strictement inférieur à  b )

Cette écriture est appelé un ” encadrement  de x.

L’amplitude de cet encadrement est la longueur du segment qui a pour extrémités les points d’abscisses b et  a  soit   b – a.

2/ Encadrement et le calcul de l’ amplitude :

Exemple 1 : Définir un encadrement pour x tel que :    x > 0        et    x < 3   

On a :    x > 0        et    x < 3                    (  x est supérieur strictement à 0 et en même temps strictement inférieur à 2 )

Donc :              0  <  x   <   3                   

  •  La représentation graphique de  x > 0 :

représentation graphique d'un encadrement

  • La représentation graphique de x < 3  :

représentation graphique d'un encadrement

  • La représentation graphique de l’encadrement   0  <  x  <  3  :

représentation graphique d'un encadrement

La représentation graphique de l’encadrement de x est la partie Verte ( L’ intersection des deux intervalles Marron et Bleu ) .

Donc,  x peut prendre toutes les valeurs entre 0 et 3.  

La valeur de  x, ne peut ni être égal à 0 ni à 3 car les deux crochets sont ouverts vers l’extérieur de l’intervalle.

  • L’amplitude de l’encadrement est   3      Car    3 – 0 = 3

 

Exemple 2 : Définir un encadrement pour x tel que :  x > -1  et  x ≤ 1,5 :            

On a :    x > -1  et  ≤ 1,5

Donc,      -1 <  x  ≤ 1,5

  • La représentation graphique de  x > -1 :

représentation graphique d'un encadrement       

  • La représentation graphique de  x  ≤ 1,5 :

représentation graphique d'un encadrement

 

  • La représentation graphique de l’encadrement -1 <  x  ≤ 1,5 :

représentation graphique d'un encadrement

Donc, x peut prendre toute les valeurs entre -1 et 1,5  ( -1 exclus  et 1,5 inclus ).

  • L’amplitude de l’encadrement est  2,5      Car     1,5 – (-1) = 1,5  + 1  =  2,5            

3/ Ordre et les opérations :

Propriété 1 :

Prenons  a, b et c des nombres relatifs :

Si     a <  b      Alors      a +  c < b + c           

Si     a <  b      Alors      a –  c < b  –  c 

Exemple 1 : Sachant que a < -3,5  déduis-en une inégalité pour a + 7   

Réponse :

On a :               a  <  -3,5 

Alors          a + 7  <  -3,5 + 7

Donc :        a + 7  <  3,5

Exemple 2 :  Sachant que a > 5   déduis-en une inégalité pour a – 7   

Réponse :

 On a :         a > 5

Alors      a – 7 > 5 – 7                  Voir Comment additionner des nombres relatifs ?

Donc :    a – 7 > -2                       

Propriété 2 :

Prenons  a, b et c des nombres relatifs :

Si    a <  x  <  b      Alors   a +  c   < x + c  <  b + c           

Si   a  <  x <  b      Alors    a –  c  <  x –  c  <  b  –  c 

Exemple 1 : Sachant que   -2 <  x  <  -1  déduis-en un encadrement pour  x + 4 

Réponse :

On a :                   -2 <  x <  -1

Alors        -2 + 4  <  x + 4   <  -1 + 4

Donc :               2  <  x + 4   <  3

Exemple 2 :    Sachant que -2 <  <  -1  déduis-en une inégalité pour  x – 2

Réponse :

On a :                 -2  <  x   <  -1

Alors         -2 – 2   <  x – 2   <   -1  – 2                                                                                                                                     

Donc :             – 4  <  x – 2  < -3

Propriété 3 :

Prenons  a et b  des nombres relatifs :

Pour tout nombre c Positif  :

Si     a <  b      Alors      ac < bc      

Si    a <  x <  b      Alors   ac < xc  <  bc           

Pour tout nombre c Négatif :

Si     a <  b      Alors      ac > bc     

Remarque :   Si    a <  b      Alors      -a > -b          ( dans ce cas  c = -1  donc, on inverse le sens du symbole de comparaison )

Exemple 1 :  Sachant que x < -3,5  déduis-en une inégalité pour  7x

Réponse :

 On a :                x  <  -3,5 

Alors           7 x   x   <  7 x ( -3,5 )

Donc :              7x  <  – 24,5

Exemple 2 : Sachant que  0 <  x <  -3 déduis-en un encadrement pour  9x.

Réponse :

On a :                    0 <  x <  -3

Alors           9 x 0  <  9 x  < 9 x (-3) 

donc :                  0  <  9x   < -27

Exemple 3 :  Sachant que  x < -2  déduis-en une inégalité pour  -7x

Réponse :

On a :                   x < -2

Alors         (-7) x   x  > (-7) x ( -2 )

Donc :               -7x  <  14  

Exemple 4 : Sachant que  x < -4  déduis-en une inégalité pour  – x

Réponse :

On a :                        x   -4

Alors             (-1) x   x  >  (-1) x ( -4 )               

Donc :                     –x  <  4   

Exemple 5 Sachant que x > -3  déduis-en une inégalité pour  -7x –  3

Réponse :

                          > -3

         (-7) x   x  < (-7) x ( -3 )               

                -7x  <  21

⟺            -7x – 3 <  21 – 3

           -7x – 3 <  18

Exemple 6 :  Sachant que 0 <  x <  -5  déduis-en un encadrement pour  9x + 2

Réponse :

                        <      x      <  -5

⟺                 9 x <     9 x  <  9 x  (-5)

⟺                      0   <    9x       < -45      

⟺                0 + 2  <  9+ 2  < -45  + 2     

⟺                     2   <  9x + 2  < -43 

Propriété 4 :

Prenons  a et b  des nombres relatifs :

Pour tout nombre c strictement positif ( c > 0 ) :

Si     a <  b      Alors      a/c  <  b/c      

Pour tout nombre c strictement Négatif ( c < 0 ) :

Si     a <  b      Alors      a/c  >  b/c       

Exemple 1 : Sachant que x < -6  déduis-en une inégalité pour  x/3

Réponse :

                                    x  < -6

⟺                     1/3  x  x  <  1/3  (-6)

⟺                           x/3   < -6/3

⟺                           x/3   < -2

Exemple 2 : Sachant que  x > 2  déduis-en une inégalité pour  –x/4

Réponse :

 On a :                      x > 2

⟺             (-1/4)  x  x  <  (-1/4 ) 2

⟺                      –x/4   < -2/4

⟺                      –x/4   < -1/2

4/ Exercice à faire sur l’ encadrement et Représentation Graphique :

1/  Représenter graphiquement l’ inégalité suivante :  x <  -6 .

2/ Représenter graphiquement l’ encadrement suivant : 0 <  x <  -5 .

3/ Représenter graphiquement l’ encadrement suivant : 0  y <  8 .

4/ Représenter graphiquement l’ encadrement suivant : -4 <    0 .

Déduit un encadrement pour : a + 1

5/ Représenter graphiquement l’ encadrement suivant : -2   y    1 .

Déduit un encadrement pour : –y + 2

6/ Sachant que  x > 2  déduis-en une inégalité pour  2x

7/ Sachant que  < 5  déduis-en une inégalité pour   + 3

8/ Sachant que  < -2  déduis-en une inégalité pour  –b/5


Autres liens utiles :


Si ce n’est pas encore clair pour toi ou tu as des questions sur l’ Encadrement, Représentation Graphique d’ une inégalité ou d’ un encadrement, Ordre et les Opérations , n’hésite surtout pas de laisser un commentaire en bas et nous te répondrons le plutôt possible.

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Encadrement : Représentation Graphique, Ordre et les Opérations
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