Dans ce cours sur l’encadrement et les opérations, nous allons voir un rappel sur la représentation graphique d’ une inégalité, Comment représenter graphiquement un encadrement et calculer son Amplitude ainsi que l’ ordre et les opérations.

Amplitude d’un encadrement ?

Si     x > a     et    < b     on écrit :   a  <   x  <  b       ( x  strictement supérieur à  a  et strictement inférieur à  b )

Cette écriture est appelé un ” encadrement  de x.

L’amplitude de cet encadrement est la longueur du segment qui a pour extrémités les points d’abscisses b et  a  soit   b – a.

Encadrement et le Calcul de l’ amplitude :

Exemple 1 : Représentation graphique de l’encadrement

Définir un encadrement pour x  tel que :    x > 0        et    x < 3   

On a :    x > 0        et    x < 3                    (  x est supérieur strictement à 0 et en même temps strictement inférieur à 2 )

Donc :              0  <  x   <   3                   

  •  La représentation graphique de  x > 0 :

représenter graphiquement x > 0

  • La représentation graphique de x < 3  :

représentation graphique d'un encadrement

  • La représentation graphique de l’encadrement   0  <  x  <  3  :

encadrement et sa représentation graphique

La représentation graphique de l’encadrement de x est la partie Verte ( L’ intersection des deux intervalles Marron et Bleu ) .

Donc,  x peut prendre toutes les valeurs entre 0 et 3.  

La valeur de  x, ne peut ni être égal à 0 ni à 3 car les deux crochets sont ouverts vers l’extérieur de l’intervalle.

  • L’amplitude de l’encadrement est   3      Car    3 – 0 = 3

Exemple 2 : Représentation graphique de l’encadrement

Définir un encadrement pour x tel que :  x > -1  et  x ≤ 1,5 :            

On a :    x > -1  et  ≤ 1,5

Donc,      -1 <  x  ≤ 1,5

  • La représentation graphique de  x > -1 :

représentation graphique d'un encadrement       

  • La représentation graphique de  x  ≤ 1,5 :

représentation graphique d'un encadrement

 

  • La représentation graphique de l’encadrement -1 <  x  ≤ 1,5 :

encadrement et représentation graphique

Donc, x peut prendre toute les valeurs entre -1 et 1,5  ( -1 exclus  et 1,5 inclus ).

  • L’amplitude de l’encadrement est  2,5      Car     1,5 – (-1) = 1,5  + 1  =  2,5            

Ordre et Opérations :

Propriété 1 :

Prenons  a, b et c des nombres relatifs :

Si     a <  b      Alors      a +  c < b + c           

Si     a <  b      Alors      a –  c < b  –  c 

Exemple 1 : Sachant que a < -3,5  déduis-en une inégalité pour a + 7   

Réponse :

On a :               a  <  -3,5 

Alors          a + 7  <  -3,5 + 7

Donc :        a + 7  <  3,5

Exemple 2 :  Sachant que a > 5   déduis-en une inégalité pour a – 7   

Réponse :

 On a :         a > 5

Alors      a – 7 > 5 – 7                  Voir Comment additionner des nombres relatifs ?

Donc :    a – 7 > -2                       

Propriété 2 :

Prenons  a, b et c des nombres relatifs :

Si    a <  x  <  b      Alors   a +  c   < x + c  <  b + c           

Si   a  <  x <  b      Alors    a –  c  <  x –  c  <  b  –  c 

Exemple 1 : Sachant que   -2 <  x  <  -1  déduis-en un encadrement pour  x + 4 

Réponse :

On a :                   -2 <  x <  -1

Alors        -2 + 4  <  x + 4   <  -1 + 4

Donc :               2  <  x + 4   <  3

Exemple 2 :    Sachant que -2 <  <  -1  déduis-en une inégalité pour  x – 2

Réponse :

On a :                 -2  <  x   <  -1

Alors         -2 – 2   <  x – 2   <   -1  – 2                                                                                                                                     

Donc :             – 4  <  x – 2  < -3

Propriété 3 :

Prenons  a et b  des nombres relatifs :

Pour tout nombre c Positif  :

Si     a <  b      Alors      ac < bc      

Si    a <  x <  b      Alors   ac < xc  <  bc           

Pour tout nombre c Négatif :

Si     a <  b      Alors      ac > bc     

Remarque :   Si    a <  b      Alors      -a > -b          ( dans ce cas  c = -1  donc, on inverse le sens du symbole de comparaison )

Exemple 1 :  Sachant que x < -3,5  déduis-en une inégalité pour  7x

Réponse :

 On a :                x  <  -3,5 

Alors           7 x   x   <  7 x ( -3,5 )

Donc :              7x  <  – 24,5

Exemple 2 : Sachant que  0 <  x <  -3 déduis-en un encadrement pour  9x.

Réponse :

On a :                    0 <  x <  -3

Alors           9 x 0  <  9 x  < 9 x (-3) 

donc :                  0  <  9x   < -27

Exemple 3 :  Sachant que  x < -2  déduis-en une inégalité pour  -7x

Réponse :

On a :                   x < -2

Alors         (-7) x   x  > (-7) x ( -2 )

Donc :               -7x  <  14  

Exemple 4 : Sachant que  x < -4  déduis-en une inégalité pour  – x

Réponse :

On a :                        x   -4

Alors             (-1) x   x  >  (-1) x ( -4 )               

Donc :                     –x  <  4   

Exemple 5 : Sachant que x > -3  déduis-en une inégalité pour  -7x –  3

Réponse :

                          > -3

         (-7) x   x  < (-7) x ( -3 )               

                -7x  <  21

⟺            -7x – 3 <  21 – 3

           -7x – 3 <  18

Exemple 6 :  Sachant que 0 <  x <  -5  déduis-en un encadrement pour  9x + 2

Réponse :

                        <      x      <  -5

⟺                 9 x <     9 x  <  9 x  (-5)

⟺                      0   <    9x       < -45      

⟺                0 + 2  <  9+ 2  < -45  + 2     

⟺                     2   <  9x + 2  < -43 

Propriété 4 :

Prenons  a et b  des nombres relatifs :

Pour tout nombre c strictement positif ( c > 0 ) :

Si     a <  b      Alors      a/c  <  b/c      

Pour tout nombre c strictement Négatif ( c < 0 ) :     

Si     a <  b      Alors      a/c  >  b/c    

Exemple 1 : Sachant que x < -6  déduis-en une inégalité pour  x/3

Réponse :

                                    x  < -6

⟺                     1/3  x  x  <  1/3  (-6)

⟺                           x/3   < -6/3

⟺                           x/3   < -2

Exemple 2 : Sachant que  x > 2  déduis-en une inégalité pour  –x/4

Réponse :

 On a :                      x > 2

⟺             (-1/4)  x  x  <  (-1/4 ) 2

⟺                      –x/4   < -2/4

⟺                      –x/4   < -1/2

Exo à faire : Encadrement et Représentation Graphique :

1/  Représenter graphiquement l’ inégalité suivante :  x <  -6 .

2/ Représenter graphiquement l’ encadrement suivant : 0 <  x <  -5 .

3/ Représenter graphiquement l’ encadrement suivant : 0  y <  8 .

4/ Représenter graphiquement l’ encadrement suivant : -4 <    0 .

Déduit un encadrement pour : a + 1

5/ Représenter graphiquement l’ encadrement suivant : -2   y    1 .

Déduit un encadrement pour : –y + 2

6/ Sachant que  x > 2  déduis-en une inégalité pour  2x

7/ Sachant que  < 5  déduis-en une inégalité pour   + 3

8/ Sachant que  < -2  déduis-en une inégalité pour  –b/5


Autres liens utiles :


Si ce n’est pas encore clair pour toi ou tu as des questions sur l’ Encadrement et Représentation Graphique d’ une inégalité ou d’ un encadrement, Ordre et les Opérations , n’hésite surtout pas de laisser un commentaire en bas et nous te répondrons le plutôt possible.

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Encadrement : Représentation Graphique, Ordre et les Opérations