Comment Décomposer un Nombre en Produit de Facteurs Premiers?

Savoir Comment Décomposer un Nombre en Produit de Facteurs Premiers est important comme il est demandé, à titre d’ exemple, à l’exercice 2 du  Brevet de Math 2021. 

C’est quoi un nombre premier?

Un produit de Facteurs Premiers est un produit qui est sous la forme d’une multiplication de nombres premiers. 

Exemple 1: 2 x 3 x 5

Exemple 2: 5 x 11 x 13

Exemple 3: 2 x 7 x 11 x 19

Décomposer un nombre en Produit de Facteurs Premiers:

Premièrement, on trace une droite verticale pour avoir 2 colonnes et on écrit le nombre à décomposer en haut de la colonne de gauche. Ensuite, la technique de la décomposition en produit de facteurs premiers consiste à diviser autant de fois que possible le nombre à décomposer par 2, puis par 3, par 5, par 7, par 11, par 13 …en suivant la liste des nombres premiers dans l’ordre croissant qu’on écrit à la colonne de droite. Puis, on refait la même chose aux nombres de la colonne gauche jusqu’à ce qu’on trouve 1 sur notre série de nombre de la colonne de gauche et on a la réponse qui est le produit de tous les nombres récupérés à la colonne de droite. 

En général, dans la décomposition, si on obtient plusieurs facteurs identiques, on les élève à la puissance correspondante.

Exemple 1: 24

Décomposer 24 en produit de facteurs premiers

Donc: 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2³ x 3

Explication des étapes suivies:

La liste des nombres premiers est à garder toujours en tête ( 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, … )

1/ Le nombre à décomposer 24 est écrit en haut de la colonne de gauche.

2/ 24 peut être divisé par 2 :  24 / 2 = 12  ( on écrit 2 à la colonne de droit et 12 en bas de 24 à la colonne de gauche )

3/ 12 est divisible par 2 :  12 / 2 = 6 ( on écrit 2 à la colonne de droit et 6 en bas de 12 à la colonne de gauche )

4/ 6 est divisible par 2 :  6 / 2 = 3 ( on écrit 2 à la colonne de droit et 6 en bas de 3 à la colonne de gauche )

5/ 3 n’est pas divisible par 2 et divisible par 3 :  3 / 3 = 1 ( on écrit 3 à la colonne de droit et 1 en bas de 3 à la colonne de gauche )

On arrête puisqu’ on a trouvé 1. Donc 24 est égal au produit de tous les nombres de la colonne de droite: 

24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2³ x 3    

Exemple 2: 33

Décomposer 33 en produit de facteurs premiers

Donc: 33 = 3 x 11 

Explication des étapes suivies:

1/ Le nombre à décomposer est 33.

2/ 33 n’est pas divisible par 2 et il est divisible par 3 :  33 / 3 = 11  ( on écrit 3 à la colonne de droit et 11 en bas de 24 à la colonne de gauche )

3/ 11 n’est pas divisible par 2, 3, 5, 7 et il est divisible par lui même 11 :  11 / 11 = 1 ( on écrit 11 à la colonne de droit et 1 en bas de 11 à la colonne de gauche )

On arrête puisqu’ on a trouvé 1. 

Donc: 33 = 3  x 11   

Exemple 3: 100

Décomposer 100 en produit de facteurs premiers

Donc: 100 = 2 x 2 x 5 x 5 = 2² x 5²

Exemple 4: 156

Décomposer 156 en produit de facteurs premiers

Donc: 156 = 2 x 2 x 3 x 13 = 2² x 3 x 13

Exemple 5: 300

Décomposer 300 en produit de facteurs premiers

Donc: 300 = 2 x 2 x 3 x 5 x 5 = 2² x 3 x 5²

Exercice à faire:

Décompose en produit de facteurs premiers les nombres suivants:

• 132
• 198
• 240
• 294
• 385

Si la technique de la décomposition n’est pas encore clair, n’ hésite pas de nous écrire en bas en commentaire ou via instagram.